Page 7 - Matematik Yaz Okulu

MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
M A TEM A TİK SEFERBERLİĞİ

Zeno’nun Kaplumbağa Paradoksu

Yunan mitolojisi kahramanı Akhilleus (Aşil) ile

kaplumbağa yarış yapacaklardır. Akhilleus, iyi bir
koşucu olduğu için kaplumbağanın yarışa kendisinden

A1 K1 K2 K2 K2 K2 K2 daha öndeki bir noktadan başlamasına izin verir.
A2 A3 A3 A3 A3 A3
Akhilleus’in başlangıç noktasını A1, kaplumbağanın
başlangıç noktasını K1 olarak adlandıralım. Akhilleus
ilerleyip T1 noktasına geldiğinde (A2), kaplumbağa

bir K2 noktasına ilerlemiş olacaktır. Akhilleus K2 (A3)
noktasına geldiğinde kaplumbağa bir K3 noktasına

gelecek ve bu işlem sürekli olarak sayı doğrusunda
devam edecektir.

Sizce Akhilleus kaplumbağayı yakalayabilir mi ?

Cantor Paradoksu

Γ tüm kümelerin kümesi olmak üzere

Γ = {x : x = x}
şeklinde formüle edilebilir. Γ nın en büyük küme olduğu açıktır. Γ nın alt kümelerinin kümesi de bir

kümedir ve eleman sayısı 2Γ olur. Bu durumda Γ nın alt kümelerinin kümesinin kardinalitesi kesin
olarak Γ nın kardinalitesinden büyüktür.

Sizce Γ en büyük küme midir?

Russell Paradoksu

Kendisini eleman olarak içermeyen tüm kümelerin kümesi A olmak üzere

A= {x : x x}
şeklinde formüle edilebilir. Görüldüğü üzere A kümesinin elemanları iyi tanımlanmıştır.

A kümesi, kendisini eleman olarak içerdiğinden A’nın elemanı olamaz. Öte yandan A kümesi
kendisinin elemanı değilse A kümesinin tanımını kullanarak kendisinin elemanı olduğu sonucuna

varırız.
Sizce A kümesi kendisinin elemanı mıdır?

Kaynakça:
Pappas T., Daha Eğlenceli Matematik, Doruk Yayımcılık, Ankara, 2006, Bilgin Z.; “Çağdaş Matematiğin Temeli Olarak Kümeler Kuramı”, Kutadgubilig Felsefe-Bilim Araştırmaları, Eylül 2018, Sayı 38, s. 257-281. 7
https://bilimgenc.tubitak.gov.tr/makale/paradoksal-durumlar