Page 104 - Matematik 12 | 5. Ünite

ÖRNEK

Kış mevsiminde sokak hayvanları şiddetli soğuklar
nedeniyle geceyi geçirmek için bir barınağa ihtiyaç
duymaktadır. Büyük şehirlerde bu imkânı bulabil-
14444444 4 cm
A melerine karşın küçük yerleşim yerlerinde hayvan
0 B barınakları olmadığı için soğuktan korunmak kedi
6 24444444 4
ve köpeklerin önemli bir sorunu hâline gelmekte-
dir. Bu nedenle bir Meslek Lisesinin Mobilya ve İç
3
Mekân Tasarımı bölümünde öğretmen olan Musta-
144444 4 cm
fa Bey, gönüllü öğrencileri ile birlikte şehrin çeşitli
30 244444 4 yerlerine yerleştirilmek üzere kulübeler yapmayı
D
C planlamaktadır. Şekildeki gibi tasarladığı kulübeyi
3
sınıfta tahtaya çizerek bunları nasıl yapacaklarını
144444444444444
90 244444444444444 3 öğrencilerine anlatmıştır. Mustafa Bey, şekildeki
cm
uzunluklara göre planlanan kulübeye ABCD dik-
dörtgeni biçiminde bir kapı yapacaktır.
Buna göre kapının alanının en fazla olması için ka-
pının eninin ve boyunun kaç cm olacağını bulunuz.
ÇÖZÜM
KH = xcmve AB = ycmolsun .
K
KS = 60 cm ve LM = 90 cm dir .
& & KH AB
KAB + KLM olduğundan KS = LM olur .
A B x y 3 x
H Bu durumda 60 = 90 & y = 2 olur .
KN = 90 cm & HN = BC = 90 - xcmolur .
L M
S A ABCD = AB $ BC
g
]
= y 90 - xg
$ ]
3 x
= $ ] 90 - xg
2
D N C 2
2
= 135 x - 3 x cm olur .
2
Böylece kapının alanı f x = 135 x - 3 x 2 fonksiyonu ile ifade edilirse kapının alanının en fazla
]g
2
olması için f x = 135 x - 3 x 2 fonksiyonunun maksimum değeri bulunmalıdır.
]g
2 45
x
f x = 135 x - 3 2 2 & f x = 135 - 3 x - 3 3
l] g
] g
f x = 0 & 135 - 3 x = 0
l] g
& x = 45 olur .
f x ]g fonksiyonunun türevinin işaret tablosu incelenirse fonksiyonun maksimum değerini x = 45
için aldığı görülür. Bu durumda
3 x 345
$
AB = = = 67 ,5 cm olur . BC = 90 - x = 90 - 45 = 45 cm olur .
2 2
O hâlde ABCD dikdörtgen biçimindeki kapının alanının en çok olması için eni ve boyu sırasıyla
45 cm ve 67,5 cm olmalıdır.

Türev
282