Page 20 - Matematik Yaz Okulu

20
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
M A TEM A TİK SEFERBERLİĞİ İRRASYONEL SAYILAR

Günümüzde doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar gibi irrasyonel sayılar kümesi de bilinmekte
ve bunlar gerektiğinde matematiksel işlemlerde kullanılmaktadır. Farklı sayı kümelerine neden
ihtiyacımız var?
Dünyayı sayılarla daha anlamlı hâle getiriyoruz.
Pisagor (MÖ 585-MÖ 500), dinî-felsefi bir topluluk olan Pisagor Okuluna önderlik etmiştir. Bu topluluğun
sloganlarından biri “Dünyayı sayılar yönetir.” sözüdür. Burada sayı
kavramı pozitif tam sayılar ile sınırlandırılmıştır. Daha sonra bu sayıların
birbirine oranı kullanılarak rasyonel sayılar elde edilmiştir.
Tam ve rasyonel sayıların, basit temel özellikleri tanımlamak için
yeterli olmadığını gören Pisagor tam sayılara olan inancını yitirmeye
başlamıştır. Genel olarak bir karenin köşegen uzunluğu ile kenar
uzunluğu arasında bir oran bulamayan Pisagor, birini diğerinin
cinsinden yani kesir olarak ifade edememiştir. Tespit edilemeyen bu
sayının anlamlandırılması için benimsenen çözüm, sayı kavramının
genişletilmesi olmuştur. Yeni bir sayı kümesi oluşturulmuş ve buna rasyonel olmayan (irrasyonel)
sayılar kümesi adı verilmiştir. Rasyonel kelimesi oranlı sayılar,
irrasyonel sayılar ise oran olarak ifade edilemeyen sayılar
biçiminde tarif edilebilir. Başka bir deyişle irrasyonel sayılar
iki tam sayının oranı biçiminde yazılamaz. Birim kenarlı bir
karenin köşegeninin uzunluğundan faydalanılarak başka
irrasyonel sayılar türetilebilir.

Theodorus Spirali: √2,√3 ve √5 sayılarının Pisagor teoreminden faydalanarak üretilmesi

Theodorus, MÖ 5. yüzyılda Yunanların kontrolünde bulunan ve günümüzde Libya olarak bilinen Kirene
kentinde doğmuştur. Platon’un hocası olan Sokrates ile tanışıp Atina’ya gitmiş, burada irrasyonel
sayılarla ilgili çok önemli çalışmalar yapmıştır. Theodorus; √2,√3 ve √5 gibi sayıların rasyonel sayı
olmadığını ispat etmiştir. Theodorus spirali;“Einstein spirali”, “Pi spirali”, “Karekök spirali” isimleri ile
de bilinir. Bu spiral oluşturulurken önce dik kenar uzunlukları 1 birim olan ikizkenar dik üçgen çizilir.
Çizilen dik üçgenin hipotenüsünü bir dik kenar kabul eden ve diğer dik kenarı 1 birim olan yeni bir dik
üçgen çizilir. Bu işlem istenen sayıda devam ettirilerek irrasyonel sayı oluşturulur. Aşağıdaki kareli
zemin üzerinde √17 sayısını oluşturmayı deneyiniz.