Page 14 - Matematik Yaz Okulu

14 PASCAL ÜÇGENİNİN GİZEMLİ DÜNYASI
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
M A TEM A TİK SEFERBERLİĞİ

Pascal üçgeni (x + y)n şeklindeki iki terimli ifadelerin açılımlarındaki katsayıların üçgensel bir
düzenlemesidir. Adını 17. yüzyılda yaşayan Fransız matematikçi Blaise Pascal’dan (Blez Paskal) almıştır
ancak tarihi çok daha eskilere dayanır. Ömer Hayyâm bu katsayıları Pascal’dan önce keşfettiğinden bu
üçgene Hayyâm üçgeni de denir. Tarihsel süreç boyunca Pascal üçgenini Hintli matematikçiler Meru
Dağı’nın merdivenleri, Çinli matematikçiler Yang Hui üçgeni şeklinde de isimlendirmişlerdir.
Şimdi Pascal üçgenini binom açılımlarındaki katsayılardan yararlanarak oluşturalım:
(x + y) = 1
0
(x + y) = 1.x + 1.y
1
(x + y) = 1.x + 2.xy + 1.y2
2
2
(x + y) = 1.x + 3.x2y + 3.xy2 + 1.y3
3
3
…
(x + y)n = ( ).x y + ( ).xn - 1y + … + ( ).x y
n o
0 n
n n n
o 1 n
Bu açılımlardaki terimlerin katsayıları ortalanarak yazılırsa
1
1 1
1 2 1

1 3 3 1
şeklindeki sayılardan oluşan üçgen elde edilir. Bu üçgen Pascal üçgeni olarak isimlendirilir.
Peki Pascal üçgenini matematikçiler için bu kadar ilgi çekici yapan nedir?

2’nin Kuvvetleri

Şekildeki her bir çapraz çizgi üzerindeki sayıların
toplamı Fibonacci sayı dizisindeki sayıları verir.

Şekilde mavi ile gösterilen sayılar üçgensel

sayılardır.