Page 9 - Matematik Yaz Okulu

ÇİZGE KURAMI VE KÖNİGSBERG’İN YEDİ KÖPRÜSÜ M A TEM A TİK SEFERBERLİĞİ
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

Königsberg (Kaliningrad) şehrinin dört bölgesini birbirine bağlayan C
Pregel Nehri’nin üzerinde yedi köprü bulunmaktadır. Ünlü matematikçi
Leonhard Euler (Lionard Oila), “Königsberg’de yedi köprünün her birinden 1 4
sadece birer kez geçilip tüm bölgeler dolaşılarak başlangıç bölgesine 2
ulaşılmasını sağlayan bir rota oluşturulabilir mi?” sorusunu gözlemleri 3
sonucu ortaya çıkarmış ve bu soru matematikte yepyeni bir alanın ortaya A D
çıkışında öncü olmuştur.
Euler, problemin çözümüne her çizginin bir köprüyü ve her düğümün 5 6 7
köprünün bulunduğu bölgeyi temsil ettiği bir çizge oluşturarak
başlamıştır. Her bir düğümde bulunan çizgi sayısına düğüm derecesi B
adını veren Euler, çizgeleri düğüm derecesinin tek ve çift olma durumuna
göre sınıflandırarak çizgelerin çizilebilirliklerini belirlemiştir. Euler’in Königsberg’in yedi köprüsü
problemi için oluşturduğu yandaki çizgede
B, C ve D düğümlerinin derecesi 3; A
Bunun sonucunda Euler, Köninsberg’de böyle bir rota oluşturmanın düğümünün derecesi ise 5’tir.
mümkün olmadığını kanıtlamıştır. Bu tür bir rota oluşturmayı mümkün
kılacak çizgelerin aşağıdaki özelliklere sahip olmaları gerektiğini de ortaya koymuştur. Çizge tek
dereceli düğüm (tek sayıda çizgeye sahip köşe) içeriyorsa bu düğümlerin sayısı iki olmalıdır. Bu
düğümler rotanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Ancak çizgede tek dereceli düğümler yoksa rota
herhangi bir düğümden başlanarak oluşturulabilir Königsberg’in yedi köprüsü probleminde oluşturulan
çizgede düğümlerin dördünün de derecesi tektir. Bundan dolayı köprünün her birinden sadece birer
kez geçilip tüm bölgeler dolaşılarak başlangıç bölgesine ulaşılmasını sağlayan bir rota oluşturulamaz.

19. yüzyılın sonlarında bölgeye 8. köprü inşa edilmiştir. Sizce 8. köprünün eklenmesi bu
problemin çözümünü mümkün kılmış mıdır?
9