Page 99 - DÖRT DÖRTLİK KONU PEKİŞTİRME TESTİ MATEMATİK 10

ÇÖZÜMLÜ SORULAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler MATEMATİK

9. a ve b gerçek sayılar olmak üzere P(x) polinomu için 11. Baş katsayısı pozitif tam sayı olan bir P(x) polinomu için
6
3
P(x ) = x + (a − 4)x + (b − 2)x + (a + b)x + a − b eşitliği P(x − 1) ∙ P(x + 1) = 9x + 6x + n eşitliği veriliyor.
5
2
3
4
veriliyor.
Buna göre P(n) değeri kaçtır?
Buna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı sabit te-
A) −23 B) −15 C) −7 D) 1 E) 9
riminden kaç fazladır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Çözüm:
P(x − 1) ∙ P(x + 1) çarpımının derecesi 2 olduğu için P(x)
Çözüm:
polinomu birinci dereceden olmalıdır.
P(x) bir polinom olduğu için P(x ) polinomunda x in kuvvetleri
3
3
3 ün doğal sayı katları olmalıdır. Yani P(x ) polinomunda x ve P(x) = ax + b olsun.
5
x lü terimlerin katsayıları sıfıra eşit olmalıdır.
4
P(x − 1) = a(x − 1) + b = ax − a + b ve
a − 4 = 0 ve b − 2 = 0 P(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a + b olur.
Bu polinomlar çarpılırsa
a = 4 ve b = 2 bulunur.
(ax − a + b) ∙ (ax + a + b) = 9x + 6x + n
2
Bulunan a ve b değerleri yerine yazılırsa
2
2
2 2
2
P(x ) = x + 6x + 2 polinomu elde edilir. a x + 2abx + b − a = 9x + 6x + n
3
3
6
P(x) polinomunun katsayılar toplamı için P(1) değeri ve sabit Polinomların eşitliğinden
terimi için P(0) değeri bulunmalıdır.
2
2
a 2 = 9 ve 2ab = 6 ve b − a = n olur.
P(x ) = x + 6x + 2 eşitliğinde x =1 için P(1) = 9 olur.
3
6
3
a 2 = 9 ise a = 3 veya a = −3 olur. Baş katsayısı pozitif olaca-
P(x ) = x + 6x + 2 eşitliğinde x = 0 için P(0) = 2 olur. ğından a = 3 olur.
6
3
3
Buradan da P(1) − P(0) = 7 olarak bulunur. 2ab = 6 ve a = 3 olduğundan b = 1 bulunur.
2
2
Cevap: E 1 − 3 = n ve buradan n = −8 bulunur.
P(x) = ax + b olduğundan P(x) = 3x + 1 olur.
Buradan da P(−8) = −23 bulunur.
Cevap: A
10. P(x) polinomu için P(2x + 4) + P(3x + 2) = x + P(x + 2) eşitliği
veriliyor.
12. P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere der [P (x) ∙ Q (x)] = 17
3
2
Buna göre P(8) + P(4) ifadesinin değeri kaçtır? ve der [P(2x) ∙ Q(3x) + 4] = 7 veriliyor.
Buna göre der [P(x) + Q(x)] ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
P(2x + 4) + P(3x + 2) = x + P(x + 2) eşitliği Çözüm:
2
x = 0 için P(4) + P(2) = P(2) olur. der [P(x)] = m ve der [Q(x)] = n olsun. der [P (x)] = 2m,
der [Q (x)] = 3n, der [P(2x)] = m ve der [Q(3x)] = n olur.
3
Buradan P(4) = 0 bulunur.
der [P (x) ∙ Q (x)] = 2m + 3n = 17 ve
2
3
P(2x + 4) + P(3x + 2) = x + P(x + 2) eşitliği der [P(2x) ∙ Q(3x) + 4] = m + n = 7 olur.
x = 2 için P(8) + P(8) = 2 + P(4) olur. 2m + 3n = 17
m + n = 7 denklem sisteminden m = 4 ve n = 3 bulunur.
Buradan 2P(8) = 2 + 0 ve P(8) = 1 bulunur.
P(x) + Q(x) polinomunun derecesi, derecesi büyük olan poli-
P(8) + P(4) = 1 + 0 = 1 elde edilir. nomun derecesine eşit olacağı için der [P(x) + Q(x)] = 4 olur.

Cevap: A Cevap: B

99