Page 323 - Dört Dörtlük AYT Matematik

ÇÖZÜMLÜ SORULAR Gerçek Sayı Dizileri MATEMATİK

30. (a ) ve (b ) birer dizi olmak üzere 32. Fibonacci dizisi; her sayı kendisinden önce gelen iki sayının
n
n
toplamı şeklinde yazılan dizidir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, … şeklinde
4n
a = (5 )
2n + 1 terimlerden oluşur. Dizinin ardışık iki teriminin büyük olanı-
nın küçük olanına bölümü altın orana yakın bir değer ver-
(b n + 1 ) = (5 2n−3 )
mektedir.
27
a ∙ b = 5 eşitlikleri veriliyor.
t k
Bir süsleme sanatçısı altın renkli telleri ve Şekil 1' deki ka
Buna göre k + t değeri kaçtır? lıbı kullanarak motif yapmak istiyor. Şekil 1'deki 1, 2, 3, 4 ve
5 numaralı karelerin kenar uzunlukları santimetre cinsinden
A) 17 B) 21 C) 22 D) 23 E) 25 Fibonacci dizisinin ardışık terimleridir.
3
Çözüm: 4
2 1
(a ) ve (b ) dizilerinin genel terimlerini elde etmek için
n n
4n
(a 2n + 1 ) = (5 ) eşitliğinde n yerine 2n + 1 fonksiyonunun tersi 5
n−1
olan yazılır.
2
Şekil 1
(b ) = (5 2n−3 ) eşitliğinde n yerine n + 1 fonksiyonunun tersi
n + 1
olan n − 1 yazılır.
(a ) = (5 2n−2 ) ve b = (5 2n−5 ) elde edilir.
n
n
27
27
a ∙ b = 5 olduğundan a ∙ b = 5 2t−2 ∙ 5 2k−5 = 5 2t +2k−7 = 5
t k t k
bulunur.
Şekil 2
2t + 2k − 7= 27
t + k = 17 olur. Sanatçı motifleri yapmak için sarı telleri kalıplarda bulunan
karelerin köşelerinden geçen çember yayları olacak şekilde
Cevap: A Şekil 2'deki gibi yerleştiriyor.

Buna göre sanatçının Şekil 2'deki motifi yapmak için kul-
lanmış olduğu telin toplam uzunluğu kaç π santimetre-
dir?
31. Bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı S olsun.
n A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
S = 82 ∙ S 4
8
olduğuna göre bu dizinin ortak çarpanı kaçtır? Çözüm:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 Kalıp için kullanılan karelerin kenar uzunlukları Fibonacci di-
zisinin ardışık terimleri olduğundan, bir kalıp için kullanılmış
karelerin kenar uzunluklarını bulalım. En küçük kareden başla-
Çözüm: nılır ise karelerin kenar uzunlukları sırasıyla 1, 1, 2, 3, 5 cm 'dir.
Bu diziyi (a ) ile gösterelim. İlk terim a ve ortak çarpan r ol- Kullanılan süsleme telleri karelerin karşılıklı iki köşesinden
n
1
mak üzere geçen çember yayı olduğundan her bir kare şekli için çeyrek
çember yayı uzunluklarını bulmalıyız.
3
5
4
6
2
7
S = a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a
8 1 1 1 1 1 1 1 1
Bir kalıp için kullanılan telin uzunluğu
= a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ (a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a )
2
3
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
2∙1∙π 2∙1∙π 2∙2∙π 2∙3∙π 2∙5∙π = 6π olur.
olur. 4 4 4 4 4
Şekil 1 için 4 tane kalıp kullanıldığından toplam kullanılan te-
3
a + r ∙ a + r ∙ a + r ∙ a yerine S yazalım. lin uzunluğu = 4 ∙ 6 π = 24 π cm olarak bulunur.
2
1
1
1
1
4

4
S = S + r ∙ S
8 4 4 Cevap: E
4
= S ∙ (1 + r ) = 82 ∙ S
4 4
4
Son eşitlikten 1 + r = 82 ve r = 3 olarak bulunur.
Cevap: C
321