Page 3 - Fen Lisesi Matematik 12 | 3. Ünite

Kosinüs İçin Toplam ve Fark Formülleri

Birim çember üzerinde AB = CD olacak biçimde iki kiriş çizilsin.

y a+b

1 b % % b
BD =
AC =
A
%
CB = a
C
a
x
- 1 O 1 B

b

- 1 D

Bu çember üzerinde alınan A, B, C ve D noktalarının koordinatları
A cos a + g ] b , ^ ^
^
]
b ,sin a + gh B 1, 0 , h C cosa,sinah ve
b ,sin -
]
^
^
D cos - g ] bgh = D cosb, - sinbh olarak yazılır.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden
AB kirişinin uzunluğu
İki nokta arasındaki uzaklık
]
]
AB = ^ cos a + g 1 + ^h 2 sin a + g 0 2 Ax ,y1h ve Bx ,y2h
b -
b - h
^
^
1
2
2
2
]
b -
b ++
b bulunur. (I)
= cos ] a + g 2cos a + g 1 sin ] a + g AB = ^ x1 - x2 h 2 + ^ y1 - y2 h 2
CD kirişinin uzunluğu
CD = ] cosa - cosb + ]g 2 sina + sinbg 2
2
2
2
= cosa - 2cosacosb + cos b + sin a + 2 sina sinb + sinb
2
$
$
2
= cosa + sina + cosb + sinb - 2cosacosb + 2 sina sinb
2
2
2
$
$
2
2
3
1444444444444444414444444444444444 3
1 1
= 2 - 2 cosa cosb + 2sinasinb bulunur. (II)
$
$
% &
Buradan AB = CD olduğundan (I) ve (II) denklemleri birbirine
eşitlenerek her iki tarafın karesi alınırsa
cos ] a + g 2cos a + g 1 sin ] a + g 2 - 2 cosa cosb$ + 2sinasinb$
2
]
2
b =
b ++
b -
]
2 cosa cosb$
b =
2 - 2 cos a + g 2 - ^ - sina sinb$ h
]
- 2cos a + g 2cosacosb$ - sinasinb$ h
b =- ^
]
cos a + g cosa cosb$ - sina sinb$
b =
kosinüs için toplam formülü elde edilir.
b =
cos - h cosb
^
Bu formülde b yerine b- yazılırsa
sin - h sinb
^
b = -
cos a + - bgh = cosa cos$ ] - g sina sin$ ] - bg
]
^
b -

cos a - g cosa cosb$ + sina sinb$
]
b =
kosinüs için fark formülü elde edilir.
Trigonometri
129