Page 102 - Fizik 11 | 1.Ünite

KUVVET VE HAREKET

Kütle Merkezi ve Ağırlık Merkezinin Koordinatlarının Bulunması

Bir cisim pek çok küçük noktasal parçacıktan meydana gelmiştir. Bu parçacıkların ağırlıklarının bileşkesinin bu-
lunduğu noktanın koordinatları, cismin ağırlık merkezinin koordinatlarını oluşturur. Yer çekimi ivmesinin cisim
üzerindeki her noktada aynı olduğu kabul edilirse cismin ağırlık merkezi ile kütle merkezi çakışık olur.
Şekil 1.77'deki gibi x-y koordinat sisteminde bulunan bir cismin koordinatları (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), (x 3 ,y 3 ),... olan çok kü-
çük parçacıklara ayrıldığı düşünülerek cisim incelenip ağırlık merkezinin koordinatları bulunabilir. ,G G 2 ve G 3
1
noktasal parçacıklarının ağırlıklarının bileşkesi G ise
G = G 1 + G 2 + G 3 + ... olur.

G ağırlıklı cismi oluşturan parçacıklara etki eden yer çekimi kuvvetlerinin torklarının toplamı, cismin ağırlığının
oluşturduğu torka eşittir.

G x = x + x + x + ...
G 1
G 2
G 3
G . x = G 1 . x 1 + G 2 . x 2 + G 3 . x 3 ... eşitliğinde G = m . g yerine yazıldığında
y
(m 1 + m 2 + m 3 + ...) . g . x = m 1 . g . x 1 + m 2 . g . x 2 + m 3 . g . x 3 +...
y 3 G 3
y 2 G 2
(m 1 + m 2 + m 3 + ...) . g . x = (m 1 . x 1 + m 2 . x 2 + m 3 . x 3 + ...) . g
G 1
(m 1 + m 2 + m 3 + ...) . x = (m 1 . x 1 + m 2 . x 2 + m 3 . x 3 + ...) olur. y 1
0
mx 1 + mx 2 + mx 3 + ... x 1 x 2 x 3 x
$
$
$
3
2
x = 1 m 1 + m 2 + m 3 + ... elde edilir.
Cisim üzerindeki n tane nokta için genelleme yapılırsa Şekil 1.77: Bir cisme ait noktaların
koordinatları
$
$
mx 1 + mx 2 + ... + $
2
mx n
x = 1 m 1 + m 2 + ... + m n n ifadesiyle cismin kütle merkezinin x koordinatı bulunur. Bu ifade
aynı zamanda sabit yer çekimi alanında cismin ağırlık merkezinin koordinatı olur.
ve G 3 nün y eksenine göre torklarının toplamına eşittir.
1
G nün y eksenine göre torku, ,G G 2
G x = x + x + x + ...
G 3
G 1
G 2
G . y = G 1 . y 1 + G 2 . y 2 + G 3 . y 3 ... eşitliğinde G = m . g yerine yazıldığında
(m 1 + m 2 + m 3 + ...) . g . y = m 1 . g . y 1 + m 2 . g . y 2 + m 3 . g . y 3 +...
(m 1 + m 2 + m 3 + ...) . g . y = (m 1 . y 1 + m 2 . y 2 + m 3 . y 3 + ...) . g

(m 1 + m 2 + m 3 + ...) . y = (m 1 . y 1 + m 2 . y 2 + m 3 . y 3 + ...) olur.

$
$
$
my 1 + my 2 + my 3 + ...
2
y = 1 m 1 + m 2 + m 3 + 3 ... elde edilir.
Cisim üzerindeki n tane nokta için genelleme yapılırsa
$
$
my 1 + my 2 + ... + $
my n
2
y = 1 m 1 + m 2 + ... + m n n ifadesiyle cismin kütle merkezinin y koordinatı bulunur.
g sabit ise aynı zamanda bu noktalar cismin ağırlık merkezidir.

204