Page 356 - Dört Dörtlük - AYT - Matematik

MATEMATİK Trigonometrik Denklemler ÇÖZÜMLÜ SORULAR

π §3 §2 sin x
13. x ∈ [0, ] olmak üzere sin2x + cos2x = 1 15. = cot x denklemi için x = 3α + 15°dir.
2
2 3 tan x
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? π 3π
Buna göre , 'nda α'nın alabileceği en büyük değer
π π π π π π
A) ( , 2 B) ( , 2 C) ( , 2 2 2
12 4 6 3 4 3 kaçtır?
π π π π A) 100° B) 130° C) 220° D) 240° E) 250°
D) ( , 2 E) ( , 2
12 6 4 3
Çözüm: Çözüm:
.
.
§3 §3 sin30° §2 sin x = cot x ∙ tan x ⟹ §2 sin x = cotx tanx tanx
2
sin2x + cos2x = 1 ( = tan30° = yazılır.)
3 3 cos30°
sin30° §2 sin x = tan x ⟹ §2 sin x = sin x ⟹ cos x = 1
sin2x + ∙ cos2x = 1
cos30° cos x §2
cos30° ∙ sin2x + sin30° ∙ cos2x = cos30° cos x = cos 45° veya cos x = cos 315°
§3 π π
sin(2x + 30°) = Ç = {x: x = + 2kπ veya x = 2π - + 2kπ, k ∈ ℤ}
2 4 4
sin (2x + 30°) = §3 = sin60° olduğundan x = 3α + 15° olduğundan
2
π 7π
[0, 2π] 'nda denklemin kökleri; 3α + 15° = + 2kπ veya 3α + 15° = + 2kπ
4 4
.
2x + 30° = 60° + 2kπ 3α + 15° = 45° + k 360°
1
30° 2kπ
.
k ∈ ℤ ⇒ x = + = 15° + kπ olduğundan α = 10° + k 120°
1 2 2
π π
[0, ] 'ndaki kökü x = 15° = olur. veya
1
2 12
2x + 30° = 180° - 60° + 2kπ 3α + 15° = 315° + k 360°
.
2
.
k ∈ ℤ ⇒ x = 45° + kπ olduğundan α = 100° + k 120°
2
π π π 3π
[0, ] 'ndaki kökü x = 45° = olur. , 'ndaki kökleri ;
2
2 4
2 2
Cevap: A 100°, 130°, 220°, 250° bulunur.
’
α nın alabileceği en büyük değer 250°dir.
Cevap: E
2
2sin 6α - 2
14. = §3 denklemi veriliyor. 2 2
sin 6α cos 6α + cos 6α 16. tan x + 2 = 3 cot x denkleminin [0, π] 'ndaki en büyük kök
3
2
değeri kaç derecedir?
Aşağıdakilerden hangisi denklemin [0, π] 'ndaki çözüm
kümesinin bir elemanı değildir? A) 45 B) 60 C) 120 D) 135 E) 150
A) 35° B) 85° C) 95° D) 135° E) 155° Çözüm:
2
2
Çözüm: tan x + 2 = 3 cot x
2
2
2
2sin 6α - 2 2(sin 6α - 1) tan x + 2 - 3 cot x = 0
2
=
sin 6α cos 6α + cos 6α cos 6α (sin 6α + cos 6α)
2
2
2
3
(tan x + 3cotx)(tan x - cot x) = 0
1
- 2 cos 6α §3 tan x = -3cotx veya tan x = cot x dir.
2
= = §3 ⟹ cos 6α = -
cos6α 2 3 2
tan x = -3cot x ⟹ tan x = - olduğundan tan x ≠ -3
cos6α = cos 150° ∨ cos6α = cos210° tanx
1
tan x = cot x ⟹ tan x = olduğundan
6α = 150° + 360°k ⟹ α = 25° + 60°k tanx
2
tanım aralığında α’nın değerleri; tan x = 1 tan x = 1 veya tan x = -1 olur.
25°, 85°, 145°, 205°, 265°, 325° tan x = 1 ⟹ tan x = tan 45° ⟹ x = 45° + 180°k olduğundan
6α = 210° + 360°k ⟹ α = 35° + 60°k x = 45°, 225° bulunur.
tan x = -1 ⟹ tan x = tan 135° ⟹ x = 135° + 180°k olduğundan
tanım aralığında α’nın değerleri;
35°, 95°, 155°, 215°, 275°, 335° bulunur. x = 135°, 315° bulunur.
[0,π] aralığındaki en büyük kök değeri 135° olur.
Cevap: D
Cevap: D
356