Page 358 - Dört Dörtlük - AYT - Matematik

MATEMATİK Trigonometrik Denklemler ÇÖZÜMLÜ SORULAR

4 sin θ + 4cosθ 23. Şekilde ayrıt uzunlukları verilen dikdörtgenler prizması biçi-
21. = 1
cosec θ + secθ 1
mindeki deponun hacmi birimküptür.
denkleminin [0, 2π] 'ndaki en büyük kökü kaç derecedir? 8
A) 305 B) 255 C) 195 D) 75 E) 15
Çözüm:

4sinθ+ 4cosθ = 4(sinθ+ cos ) θ = 4sinθ⋅ cosθ = 2sin2θ
4sinθ+
4cosθ
4(sinθ+
cos ) θ
1 + 1 = cosθ+ sinθ = 4sinθ⋅ cosθ = 2sin2θ
cosθ+
sinθ
1
1
sinθ + cosθ sinθ⋅ cosθ
sinθ
cosθ
sinθ⋅
cosθ
2sin2θ= 1
2sin2θ= 1 Buna göre bu durumu sağlayan [0,2π] 'nda kaç farklı x
1
sin2θ= 1 değeri vardır?
sin2θ=
2 2
sin2θ= sin30o o A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
sin2θ=
sin30
o
o
θ= 15 + 180 k
θ=
15 +
o
o
180 k
.
θ =15°+ k 180°
Çözüm:
.
sin 2θ = sin 150° ⟹ 2θ = 150° + k 360°
cosx ∙ sinx ∙ cos2x = 1
.
θ = 75° + k 180° 8
Ç = {15°, 75°, 195°, 255°} olduğundan en büyük kök değeri 2 ∙ cosx ∙ sinx ∙ cos2x 1
=
255°dir. 2 8
sin2x ∙ cos2x 1
=
Cevap: B 2 8
22. (sin 5x) cos 5x = 1 denkleminin [0, π) 'ndaki çözüm kümesi 2 ∙ sin2x ∙ cos2x 1
=
kaç elemanlıdır? 2 ∙ 2 8
sin4x 1 1
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 10 = ⟹ sin4x =
4 8 2
Çözüm: π 5π
sin4x = sin veya sin4x = sin olur.
sin 5x = 1 olabilir. 6 6
π
sin 5x = sin 90° 4x = + 2kπ
5x = 90° + 360° ∙ k π 6
+ kπ tanım aralığında x’in değerleri;
x = 18° + 72° ∙ k
24 2
x’in değerleri; 18°, 90°, 162° olur. π 13π 25π 37π
, , ,
cos 5x = 0 olabilir. 24 24 24 24
cos 5x = cos 90°
5x = 90° + 360° ∙ k 5π
x = 18° + 72° ∙ k 4x = + 2kπ
6
x’in değerleri; 18°, 90°, 162° olur. 5π kπ
x = +
sin5x = -1 ise cos5x'in değeri çift olmalıdır. 24 2
sin5x = sin270° tanım aralığında x’in değerleri;
5x = 270° + 360° ∙ k
5π 17π 29π 41π
X = 54° + 72° , , ,
24 24 24 24
x’in değerleri ; 54°, 126°
olduğundan 8 farklı değer alır.
cos 5x = cos 270° = 0, çift sayı
olduğundan bu iki değer çözüm kümesinin elemanıdır. Cevap: A
x = 54° + 72° ∙ k
x’in değerleri; 54°,126° bulunur.
cos5x = cos270°= 0'dır.
Ç = {18°, 54°, 90°, 126°, 162°} bulunur.
Cevap: C
358