Page 26 - Matematik 9 | 1.Ünite

MANTIK

ÖRNEK 50
“İki ya da daha çok kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kü-
Her bilim dalının kendine mesi denir.” Bu tanımda kullanılan terimleri yazınız.
özgü sözcükleri vardır. Bu
sözcüklere o bilim dalına ait ÇÖZÜM
terim denir.
Verilen birleşim kümesi tanımında küme ve eleman terimleri kullanılmıştır.
Asal sayı, açı, üçgen, dört-
gen gibi kavramlar mate- Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermelere aksiyom denir. Aksiyomlarda
matiksel birer terimdir. Bu bulunması gereken özellikler aşağıdaki gibidir.
terimler diğer matematiksel
terimler yardımıyla tanım- I. Birbirleri ile çelişmemelidir.
lanabilir. Bu tür terimlere II. Birbirlerinden bağımsız olmalıdır. (Bir aksiyom diğer aksiyomlardan çı-
tanımlı terimler denir. karılmamalıdır.)
Çeşitli örnekler ile sezgiler III. Mümkün olduğu kadar az sayıda olmalıdır.
kullanılarak kavranabilen
terimlere tanımsız terim de- ÖRNEK 51
nir. Nokta, doğru, düzlem, p : ‘‘A noktası d doğrusunun dışında bir nokta ise A noktasından geçen ve d doğru-
küme kavramları tanımsız suna paralel olan yalnızca bir doğru vardır.’’ önermesinin aksiyom olup olmadığını
birer terimdir. bulunuz.

ÇÖZÜM

Bu önerme kendisinden önceki tanım, teorem ya da aksiyomlarla ispatlanamaz.
Bu durumda p önermesi aksiyomdur.

p ve q önermeler olmak üzere p önermesi doğru iken p & önermesinin doğru-
q
luğu ispatlanabiliyorsa p & önermesi bir teoremdir. Başka bir ifadeyle doğrulu-
q
ğu ispatlanabilen önermelere teorem denir.
p & teorem olmak üzere p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir.
q

ÖRNEK 52
Bir teoremin doğru öner-
me olduğunu göstermeye Teorem : ‘‘ABC üçgeni eşkenar üçgen ise ABC üçgeninin tüm iç açı ölçüleri birbirine
teoremin ispatlanması eşittir.’’
denir. p & teoreminde p Yukarıda verilen teoremi p & şeklinde ifade ederek teoremin hipotezini ve hük-
q
q
önermesi doğru olduğundan münü belirtiniz.
teoremi ispatlamak için q
önermesinin doğru olduğu- ÇÖZÜM
nu göstermek gereklidir.Teo-
rem ispatlanırken teoremde p : ‘‘ ABC üçgeni eşkenar üçgendir.’’ ve q : ‘‘ ABC üçgeninin tüm iç açı ölçüleri birbi-
q
verilenlerden (hipotezler- rine eşittir.’’ alınırsa verilen teorem p & şeklinde ifade edilmiş olur. Bu durumda
den), daha önce ispatlanmış teoremin hipotezi p : ‘‘ ABC üçgeni eşkenar üçgendir.’’ önermesi olurken hükmü
teoremlerden, tanımlardan q : ‘‘ ABC üçgeninin tüm iç açı ölçüleri birbirine eşittir.’’ önermesi olur.
ve aksiyomlardan yararlanılır.
ALIŞTIRMALAR

1. Bir teoremin hipotezi ile hükmünün doğru önermeler olduğunu gösteriniz.
2. ‘‘Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir.’’
ifadesinin iyi bir tanım olup olmadığını belirterek kullanılan terimleri bulunuz.

l
3. (p 0 ) q & teoreminin hipotezi olan önerme ile hükmü olan önermeyi be-
r
lirtiniz. Bu teoremin doğruluğunu göstermek için hangi önermenin doğrulu-
ğunu göstermenin yeterli olduğunu bulunuz.
4. Aşağıdaki önermelerden hangilerinin teorem hangilerinin aksiyom olduğu-
nu bulunuz.
a) p : ’’ iki tek sayının çarpımı tek sayıdır.’’
b) r : ‘‘ x = 2 & x - 4 = 0 dır.’’
2
c) s : ‘‘ İki üçgen eş ise benzerdir.’’

38