Page 50 - Konu Özetleri AYT Matematik

MATEMATIK

KONU SİNX VE COSX'E GÖRE LİNEER (DOĞRUSAL) VE
ÖZETİ HOMOJEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMESİ
AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT

sinx ve cosx'e Göre Lineer (Doğrusal) Denklemler
a, b, c ∈ ℝ – {0} olmak üzere a · sinx + b · cosx = c biçimindeki denklemlere sin x ve cos x'e göre lineer (doğrusal) denk-
lem adı verilir. Bu denklemin çözümü için öncelikle verilen denklemde eşitliğin her iki tarafı a ile bölünür.
b c
a · sinx + b · cosx = c ⇒ sinx +Þ × cosx× =
a a
b sina
Daha sonra = tana = olacak şekilde yerine yazılır.
a cos a
sina c sinx cos× a + sina× cosx c
Þ ⇒ sinx + × cosx× = Þ ⇒ =
cosa a cosa a

Eşitliğin her iki tarafı cosα ile çarpılır.
Þ ⇒ sinx cos× a + sina× cosx = c × cosa
a

c
cosa£
1£
-
Burada eşitliğin sol tarafı sinüs toplam formülünün açılımı olduğundan sin(x + α) = × · cosα elde edilir. Sinüs fonksiyo-
1
a
1£
cosa£
-
1
nunun değer kümesi [–1, 1] olduğundan –1 ≤ c × · cosα ≤ 1 olmalıdır. Buna göre denklemin çözülebilmesi için bu eşitsizlik
a 2 2
2 2
cos a£
sağlanmalıdır. Bu eşitsizliğin her tarafının karesi alındığında 0 ≤ £ c × · cos α ≤ 1 c × · cos α ≤ 1 ifadesi
22
0
cos a£ 1 elde edilir. Buradaki
1
a 2 a 2
2
düzenlendiğinde c ≤ £ a bulunur. 1 =+ 2 2 2 2 2 tanx = b olduğun-
1 tan aα olduğundan c ≤ a + (1 + tan α) olacaktır.tanα = -
2
c
= 1 + tan
2
2
2
cos a cos a a
æ b ö 2
2
2
dan bulunan eşitlikte yerine yazıldığında c ≤ a · 1£ c 2 2 a × 2 2 ç + 2 ÷ eşitsizliği elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde c ≤ a + b 2
è a ø
bulunur. Bu eşitsizliğin sağlanması durumunda denklemin çözüm kümesi bulunabilir, sağlanmaması durumunda çözüm
kümesi Ø olur.
Birinci Dereceden Homojen Trigonometrik Denklemler
a, b, c ∈ ℝ – {0} olmak üzere biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklem adı verilir. Bu
denklemin çözümü için öncelikle verilen denklemde cosx ≠ 0 olmak üzere eşitliğin her iki tarafı cosx ile bölünür ve gerekli
sadeleştirmeler yapılır.
sinx cosx sinx cosx
a · sinx + b · cosx = 0 ⇒ aÞ × + b× = Þ 0 ⇒ a× + b× = 0 ⇒ a · tanx + b = 0 elde edilir.
cosx cosx cosx cosx
tanx
b
Bulunan denklemde tanx yalnız bırakıldığında tanx = – - bulunur.
tanx =
a
b
Buna göre birinci dereceden homojen trigonometrik denklem tanx = – - denklemine dönüştürülerek çözüm yapılır.
tanx =
a

MATEMATİK - AYT MEBİ KONU ÖZETLERİ 50