Page 47 - Konu Özetleri AYT Matematik

MATEMATIK

KONU SİNÜS VE KOSİNÜS FONKSİYONLARININ
ÖZETİ İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ
AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT AYT

Sinüs Fonksiyonunun İki Kat Açı Formülleri
sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ şeklinde bilinen sinüs toplam formülünde β yerine α yazılsın. Buna göre,
sin(α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα ⇒ sin2α = 2 · sinα · cosα şeklinde sinüs iki kat açı formülü elde edilir.

Kosinüs Fonksiyonunun İki Kat Açı Formülleri
cos(α + β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ şeklinde bilinen sinüs toplam formülünde β yerine α yazılsın. Buna göre,
2
2
cos(α + α) = cosα · cosα + sinα · sinα ⇒ cos2α = cos α – sin α şeklinde kosinüs iki kat açı formülü elde edilir.
2
2
2
2
Şimdi daha önceden bildiğimiz sin α + cos α = 1 eşitliğini ele alalım. Bu eşitlikte cos α ve sin α ifadelerini yalnız bıraktığı-
2
2
2
2
mızda sırasıyla cos α = 1 – sin α … (1) ve sin α = 1 – cos α … (2) eşitlikleri elde edilir.
2
2
Kosinüs iki kat açı formülünde (1) eşitliğine göre cos α yerine 1 – sin α yazdığımızda
2
2
2
cos2α = 1 – 2sin α – sin α ⇒ cos2α = 1 – 2sin α elde edilir.
2
2
Benzer şekilde kosinüs iki kat açı formülünde (2) eşitliğine göre sin α yerine 1 – cos α yazdığımızda
2
2
2
cos2α = cos α – (1 – cos α) ⇒ cos2α = 2cos α – 1 elde edilir.
Bulunanları kısaca özetlemek gerekirse herhangi bir α açısı için;
• sin2α = 2 · sinα · cosα
2
2
• cos2α = cos α – sin α
2
• cos2α = 1 – 2sin α
2
• cos2α = 2cos α – 1
eşitlikleri sağlanır.
2
2
2
Ek olarak herhangi bir α açısı için (sinα + cosα) = sin α + 2 · sinα · cosα + cos α açılımının sağlandığı bilinmektedir. Bu-
2
2
2
rada sin α + cos α = 1 ve sin2α = 2 · sinα · cosα olduğundan (sinα + cosα) = 1 + sin2α eşitliği elde edilir. Benzer şekilde
2
(sinα – cosα) = 1 – sin2α eşitliği sağlanır.
Kosinüs iki kat açı formüllerinde iki kare farkı açılımı yapıldığında aşağıdaki eşitlikler elde edilir.
cos2a = cos a- sin a = (cosa- sina ) (cos× a + sina )
2
2
) (1+
cos2a = 1 2sin- 2 a = (1- 2sina× 2sina )
cos2a = 2cos a- 1= ( 2cosa- 1 ) ( 2cos× a + ) 1
2

MATEMATİK - AYT MEBİ KONU ÖZETLERİ 47