Page 36 - Fen Lisesi Matematik 10 | 1.Ünite

SAYMA VE OLASILIK

6. Pascal Üçgeni

y
, xy ! R - " 0, olmak üzere n ! N olmak üzere x + ifadesinin kuvvetleri alınırsa
y =
Tanım ^ x + h 0 1
y =
^ x + h 1 1 x $ + 1 y $
y =
^ x + h 2 1 x $ 2 + 2 $ xy + 1 y $ 2
2
2
y =
^ x + h 3 1 x $ 3 + 3 $ x y + 3 $ xy + 1 y $ 3
.................................................................
n n n
n n 0 n 1- 0 n
y = c m
^ x + h $ x y + c m x $ y + ...+ c m x $ y
0 1 n
açılımları elde edilir. Bu açılımlardaki terimlerin katsayıları ortalanarak yazılırsa
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1 şeklindeki sayılardan oluşan üçgen elde edilir.
................................ Bu üçgene Pascal üçgeni adı verilir.

0
dn
0
1 1 = 2 0 1. satır 1 1
d n + d n
1 1 1 += 2 1 2. satır 0 1
1
2
2
2
1 2 1 1 ++ = 2 2 3. satır d n + d n + d n
1
2
1 3 3 1 1 +++ = 2 3 4. satır 0 1 2
1
3
3
3 3 3 3
d n + d n + d n + d n
0 1 2 3
Pascal üçgeninin her bir satırındaki sayıların toplamı, eleman sayısı satır numarasının 1 eksiği olan kümenin
alt küme sayısını verir.
0
0
1. satır A = " , kümesi için sA = ve alt küme sayısı: 2 = 1
^ h
1
1
2. satır A = " a, kümesi için sA = ve alt küme sayısı: 2 = 2
^ h
2
2
^ h
3. satır A = " , a b, kümesi için sA = ve alt küme sayısı: 2 = 4 olur .
Pascal üçgeninin n + 1h . satırındaki sayıların her biri eleman sayısı n olan kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2
^
elemanlı, ..., n elemanlı alt küme sayısını verir.
Örneğin
3
^ h
4. satır A = " a ,,bc, kümesi için sA = olur.
3
Alt küme sayısı " 2 = 8 = 1 + 3 + 3 + 1
5 5 5 5
3 3 3 3
3 c m c m c m c m
2
3
0
1
dn = , 1 A kümesinin 0 elemanlı alt küme sayısı
0
3
dn = , 3 A kümesinin 1 elemanlı alt küme sayısı
1
3
dn = , 3 A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı
2
3
dn = , 1 A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı olduğuna dikkat ediniz.
3
Pascal üçgeninin n + 1h . satırındaki sayıların toplamı, eleman sayısı n olan kümenin alt küme sayısını verir.
^
n n n n
n
Bu durumda c m + c m + c m + ...+ c m = 2 bulunur.
0 1 2 n
Fen Lisesi Matematik 10 47