Page 38 - Fen Lisesi Matematik 10 | 1.Ünite

SAYMA VE OLASILIK

7. Binom Açılımı

Binom Teoremi
n
,xy ! R ; ,nr ! N ;r # olmak üzere
n n n n n n
n n 0 n 1- 1 n 2 2- n r- r 1 n 1- 0 n
^ x + h $ xy + c x $ m y + c m x $ y + ...+ c m x $ y + ...+ c $ m xy + c $ m xy olur.
y = c m
0 1 2 r n - 1 n
n n n n
Binom teoremindeki c m ,c m ,c m ,...,c m katsayıları Pascal üçgeninin n + 1h . satırındaki katsayılardır.
^
0 1 2 n
Bunların sayısı n + 1h tanedir.
^
Özellikler
n
1. ^ x + yh ifadesinin açılımındaki terim sayısı n + 1h tanedir.
^
n
1
2. ^ x + yh ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı x = 1 vey = alınırsa
n n n n
n
c m + c m + c m + ...+ c m = 2 eşitliği elde edilir.
0 1 2 n
n
3. ^ x + yh ifadesinin açılımında sabit terim bulunurken x = 0 vey = 0
(tanımsızlık yoksa) alınır.
n
4. ^ x + yh ifadesinin açılımındaki her bir terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n ye
eşittir.
n
r
cc x $ m nr- y $ r teriminde n -+ = n h
r
r 2 n
2
nn
n
5. n ! N olmak üzere x + yh ifadesinin açılımındaki ortanca terim d $ n xy olur.
^
n
n
6. ^ x + yh ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan r + 1h . terim
^
n
cm x $ nr- y $ r olur.
r
1. ÖRNEK
4
^ x + y 2 h ifadesinin açılımını bulunuz.
ÇÖZÜM
4
^ x + y 2 h ifadesinin açılımı
4 4 4 4 4
^ x + y 2 h 4 = d x $ n 4 $ y 2 ^ h 0 + d x $ n 3 $ y 2 ^ h 1 + d x $ n 2 $ y 2 ^ h 2 + d x $ n 1 $ y 2 ^ h 3 + d x $ n 0 $ y 2 ^ h 4
0 1 2 3 4
2
1
3
2
3
= 1 x $ 4 + 4 $ x 2 $ y + 6 $ x 4 $ y + 4 $ x 8 $ y + 1 16 y 4
$
4
3
4
3
22
= x + 8 x y + 24 x y + 32 xy + 16 y biçimindedir.
2. ÖRNEK
3
^ x 2 - 3h ifadesinin açılımını bulunuz.
ÇÖZÜM
3
^ x 2 - 3h ifadesinin açılımı
3 3 3 3
3 + d n
3 + d n
3 + d n
^ x 2 - 3 = ^h 3 x 2 +- 3hh 3 = d $ n x 2 ^ h 3 ^ - h 0 $ x 2 ^ h 2 $ - h 1 $ x 2 ^ h 1 ^ - h 2 $ x 2 ^ h 0 ^ - 3h 3
^
^
0 1 2 3
2
3
9
= 18$ x + 34$ x $^ - h 3 $^ x 2 $ + 1 $^ - 27h
3 +
h
2
= x 8 3 - 36 x + 54 x - 27 biçimindedir.
Fen Lisesi Matematik 10 49