Page 22 - Fen Lisesi Matematik 9 | Mantık

MANTIK

9.1.2. AÇIK ÖNERMELER VE İSPAT YÖNTEMLERİ

1. Her ( ) ve Bazı ( ) Niceleyicileri

Günlük konuşma dilinde ve matematikte “her, bütün, hemen hemen hepsi, bazı, en az bir, hiçbiri” gibi
sözcük ya da sözcük grupları kullanılır. Örneğin
“Her tek sayının karesi tektir.”
“Her gün ders çalıştı.”
“Bazı doğal sayılar 3 ile tam bölünür.”
“15 Temmuz Şehitleri konulu şiir yarışmasında her sınıftan en az bir öğrenci ödül aldı.”
cümleleri incelendiğinde

“Her” sözcüğü bütün, hepsi, tamamı anlamına gelir. Her sözcüğü “6” sembolü ile gösterilir.
“Bazı” sözcüğü ile “en az bir” sözcüğü aynı anlama gelmektedir. “Bazı” sözcüğü “7” sembolü ile
gösterilir.
“Her” sözcüğü evrensel niceleyici, “bazı” sözcüğü varlıksal niceleyici olarak isimlendirilir.

2. Açık Önerme

p : “Çift olan asal sayı yalnız 2 dir.”
q(x) : “ x ! Z , x3 += olur.”
0
9
p önermesinde değişken bulunmazken q(x) önermesinde x değişkeni bulunmaktadır. q(x), x in bazı
değerleri için sağlanırken bazı değeri için sağlanmaz.
İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenlere verilen değerler sonucunda kesin olarak
doğru ya da yanlış yargı bildiren ifadelere açık önerme denir. Açık önermeyi sağlayan değerler kümesine,
açık önermenin doğruluk kümesi (çözüm kümesi) denir.
Örneğin “ ....., doğal sayılar kümesinin elemanıdır.” ifadesi, içinde bilinmeyen bulundurduğu için bir
açık önermedir.
Boş bırakılan yere 5 yazılırsa “5, doğal sayılar kümesinin elemanıdır.” önermesi doğru bir önerme olur.
Eğer - 5h yazılırsa “ - 5h, doğal sayılar kümesinin elemanıdır.” önermesi yanlış bir önerme olur.
^
^
Denklem ve eşitsizlikler, değişken içerdiğinden açık önerme olarak değerlendirilir.
A kümesinde tanımlı p önermesi “her” ve “bazı” sözcükleri kullanılarak “ x6 ! , A p x ] g” ya da
“ x7 ! , A p x ] g” şeklinde yazılabilir.

1. ÖRNEK
2
p(x): “ x 1 9 ,x ! Z olur.” açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
x 1 9 , x ! eşitsizliğinin doğruluk kümesi, karesi 9 dan küçük olan tam sayılardır.
2
Z
, 2
p(x) önermesinde x yerine -- 1 , ,,01 2 yazılırsa eşitsizlik sağlanacağından elde edilen önermelerin
doğruluk değeri 1 olur.
Bu sayıların dışındaki tam sayılarda eşitsizlik sağlanmayacağından önermenini doğruluk değeri 0 (sıfır) olur.
, ,,2, olur.
Bu durumda p(x) açık önermesinin doğruluk kümesi - , 2 - 101
"

32 | Fen Lisesi Matematik 9