Page 38 - Matematik 11 | 1.Ünite

Ge ome tri

1.2.3. Sinüs Teoremi

Yandaki ABC üçgeninin kenar uzunlukları |BC| = a, A

|AC| = b, |AB| = c olsun. [AH]⊥[BC] olduğunda
c
AHB dik üçgeninde sin ()B = h a ⇒ h a = . sin ()B olur. c b
U
U
c
& ah a ac $$ sin ()B h a
U
$
)
Buradan (AABC = 2 = 2 elde edilir.
B
H C
Benzer şekilde a
W
& ab$$ sin ()C & bc$$ sin ()A
V
)
)
( AABC = 2 ve ( AABC = 2 eşitlikleri yazılır. Bu durumda
W
V
U
& ac$$ sin () B a b$$ sin () C bc$$ sin ()A
)
( AABC = 2 = 2 = 2 olur.
Bu eşitlikler 2 ile çarpılıp a.b.c çarpımına bölündüğünde
V
U
V
ac$$ sin ()B ab$$ sin ()C bc$$ sin ()A sin ()A sin ()B sin ()C
W
W
U
ab c$$ = ab c = ab c ⇒ a = b = c olur. Buradan
$$
$$
a = b = c olarak bulunur.
sin ()A sin () B sin ()C
U
V
W
59. Örnek
A Şekildeki ABC üçgeninde |AB| = 8 birim,
()
|AC| = 42 birim ve mC = 45 ° olduğuna göre
V
8 42 B açısının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulunuz.
B 45° C

Çözüm
8 42
Yukarıdaki ABC üçgeninde sinüs teoremi uygulandığında sin45° = sin ()B olur. Buradan
U
8 = 42 ⇒ sin8 ()B = ⇒ sin ()B = 1 olur .
4
U
U
2 sin ()B 2
U
2
mB 30° veya mB 150° olur .
() =
U
U
() =
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan
B açısının ölçüsü 150° olamaz. Bu durumda B açısının ölçüsü 30° olur.

48