Page 40 - Matematik 11 | 1.Ünite

Ge ome tri

1.2.4. Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Belirli zaman aralıklarında aynı hareketin tekrarlandığı durumlar vardır. Bu tür hareketler
tanımlanırken "periyodik" ifadesine başvurulur. Dünya'nın Güneş etrafında dönmesi periyodik
harekete örnek olarak verilebilir.
Periyot ve Periyodik Fonksiyon
f(x) fonksiyonunun tanım kümesindeki her x elemanı için f(x) = f(x + T) eşitliğini sağlayan T ∈ ℝ
+
varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, en küçük T sayısına bu fonksiyonun periyodu denir.
Periyot (T) aynı değerlerin tekrar ettiği en küçük aralıktır.

60. Örnek
x ∈ ℤ olmak üzere f(x) = "x in 2 ile bölümünden kalan" şeklinde tanımlanan fonksiyonun
periyodunu bulunuz.

Çözüm
x in alabileceği tam sayı değerleri için f(x) görüntü kümesinin tablosu aşağıdaki gibi olacaktır.
x ... -1 0 1 2 3 4 5 ...
y = f(x) ... 1 0 1 0 1 0 1 ...

Tabloda görüldüğü gibi tam sayıların 2 ile bölümünden kalan 0 ile 1 olduğundan bu
değerler belli aralıklarla tekrar etmektedir. O hâlde f(x) fonksiyonu periyodiktir. Tekrar
edilen aralığın en küçük genişliği 2 olduğundan f(x) fonksiyonunun periyodu 2 olur.

61. Örnek

f:ℝ → ℝ olmak üzere f(x) = 3x - 2 fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulunuz.

Çözüm
Tanım gereği f(x) = f(x + T) olmalıdır.
f(x + T) = 3(x + T) - 2 = 3x + 3T - 2 olur.
3x - 2 = 3x + 3T - 2 eşitliğinden 3T = 0 ⇒ T = 0 olur.
+
T ∉ ℝ olduğundan f(x) fonksiyonu periyodik değildir.

62. Örnek
f(x) fonksiyonunun periyodu T olduğuna göre f(ax + b) + c fonksiyonunun periyodunu
T cinsinden bulunuz.

Çözüm
f(ax + b) + c fonksiyonunun periyodu T 1 olsun.
.
.
.
O hâlde f(ax + b) + c = f(a (x + T 1 ) + b) + c = f(a x + b + a T 1 ) + c olur.
.
f(x) fonksiyonunun periyodu T olduğundan f(ax + b) + c = f(a x + b + T) + c olur. Buradan
.
.
.
.
f(a x + b + T) + c = f(a x + b + a T 1 ) + c ⇒ T = a T 1 olmalıdır.
T
Periyot pozitif olduğundan f(ax + b) + c fonksiyonunun periyodu T 1 = a olur.
Sıra Sizde
f fonksiyonunun periyodu 2 olduğuna göre g(x) = f(3x + 5) + 6 fonksiyonunun
periyodunu bulunuz.

50