Page 36 - Matematik 11 | 1.Ünite

Ge ome tri

1.2.2. Kosinüs Teoremi

Yandaki ABC üçgeninde kenar uzunlukları |BC| = a, |AC| = b, A
(),
( ),
()
|AB| = c; iç açı ölçüleri mA mB mC olmak üzere
V
W
U
[AH]⊥[BC] olsun. c b
|HC| = x olduğunda |BH| = a - x olur. h
AHC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
2 2 2
|AC| = |AH| + |HC| B a - x H x C
2
2
2
2
2
b = h + x ⇒ h = b - x olur. (1)
2
AHB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
2 2 2
|AB| = |AH| + |BH|
c = h + (a - x) olduğuna göre
2
2
2
2
2
2
h = c - (a - x) olur. (2)
(1) ve (2) denklemleri birlikte çözüldüğünde
2
2
2
b - x = c - (a - x) elde edilir. Buradan
2
2
b - x = c - a + 2ax - x 2
2
2
2
2
b = c - a + 2ax olur. (3)
2
2
x
()
AHC dik üçgeninde cosC = b ⇒ x = b . cos ()C olur. Bu değer (3) denkleminde yerine yazıldığında
V
V
.
()
2
2
2
c = a + b - 2ab cosC elde edilir. Benzer şekilde
U
.
()
a = b + c - 2bc cosA
2
2
2
W
.
2
2
()
2
U
b = a + c - 2ac cosB yazılabilir.
55. Örnek
Kayra, okulda bulunduğu sırada 5 km uzaklıktaki
kardeşi Cenk'e akıllı telefonu ile bir konum
gönderiyor. Kayra, bir süre sonra Cenk'e 3 km
Okul uzaklıktaki tiyatro salonundan bir konum daha
5 km gönderiyor.
Cenk, okul ve tiyatronun bulunduğu noktalar bir
60° üçgenin köşeleri olacak şekilde modelleniyor.
Cenk 3 km
Tiyatro Cenk'in bulunduğu köşedeki iç açının ölçüsü 60°
olduğuna ve Cenk yer değiştirmediğine göre okul
ile tiyatro arasındaki mesafenin kaç km olduğunu
bulunuz.
Okul Çözüm
5 km Okul ile tiyatro arasındaki mesafe x olsun. Bu
x durumda Cenk'in bulunduğu köşeye göre kosinüs
60° teoremi uygulandığında
Cenk 3 km x = 5 + 3 - 2 5 3 cos60°
. . .
2
2
2
Tiyatro
. . .
x = 25 + 9 - 2 5 3 1
2
2
x = 19
2
x = 19 km olur.
46