Page 41 - Matematik 11 | 1.Ünite

T rig onome tri

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyotları

x 0 r r 3r 2r 5r 3r 7r 4r ...
2
2
2
2
sinx 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 ...
Yukarıdaki tabloda sinüs fonksiyonu için [0, 2π], [2π, 4π], ... aralıklarında 0, 1, 0, -1, 0 değerleri
tekrar etmektedir.
Benzer şekilde devam edildiğinde [4π, 6π], [6π, 8π] aralıkları için aynı durum tekrarlanır.
.
...
.
Buradan sinx = sin(x + 2π) = sin(x + 2 2π) = = sin(x + k 2π) olduğu görülür.
∀ x ∈ ℝ, k∈ ℤ olmak üzere sin(x + 2kπ) = sinx olduğundan sinüs fonksiyonunun periyodu en
+
küçük k ∈ ℤ için T = 2π olur.
+
x 0 r r 3r 2r 5r 3r 7r 4r ...
2
2
2
2
cosx 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 ...
Yukarıdaki tabloda kosinüs fonksiyonu için [0, 2π], [2π, 4π], ... aralıklarında
1, 0, -1, 0, 1 değerlerinin tekrarlandığı görülmektedir. Buradan
.
...
.
cosx = cos(x + 2π) = cos(x + 2 2π) = = cos(x + k 2π) olduğu görülür.
∀ x ∈ ℝ, k ∈ ℤ için cos(x + 2kπ) = cosx olduğundan kosinüs fonksiyonunun periyodu en küçük
+
k∈ ℤ için T = 2π olur.
+

y
1
P Yandaki birim çemberde görüldüğü gibi α açısına 2π ve
2π nin katları eklendiğinde sinüs ve kosinüs değerleri
2π + α değişmez.
-1 α 1 x
O sinα = sin(α + 2kπ)
cosα = cos(α + 2kπ)

-1

63. Örnek

f(x) = sin(3x - 1) fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Çözüm

f(x) = f(x + T) olduğundan
sin(3x - 1) = sin(3(x + T) - 1) = sin(3x + 3T -1) olur.

Sinx in periyodu 2π olduğundan
sin(3x - 1) = sin(3x -1 + 2π) olur. Buradan
2r
sin(3x - 1 + 2π) = sin(3x - 1 + 3T) ⇒ 3T = 2π ⇒ T = 3 olur.

51