Page 33 - Fen Lisesi Matematik 11 | 3.Ünite

FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR

3. ÖRNEK

Şekilde verilen simetrik asma köprünün parabolik ana taşıyıcı çelik halatının köprünün iki ayağı arasında
1
2
5
x =
g
kalan kısmı (D ve E noktaları arasında kalan eğri) f ] g 10 $ ] x - 30 + ile modellenmektedir. Şekilde
x =
gösterilen A noktası ile köprünün ayağına bağlı olan doğrusal halatın denklemi g ] g x 5 + C , c ] c ! Rg
D
dir. Köprü ayağının halatın üstünde kalan kısmı 3 m ve köprü ayağının köprünün altında kalan kısmı 15 m
dir.
Köprü, ana taşıyıcı parabolik halata
her birinin arası 5 m olan 11 çelik tel
D E ile bağlıdır. Buna göre
g^ x h a) Köprünün ayak yüksekliğinin
f x ^ h
kaç metre olduğunu bulunuz.
b) Çelik tellerden en kısa olanın
A 5m B
uzunluğunun kaç metre oldu-
ğunu bulunuz.
c) Köprünün uzunluğunun
( AB ) kaç metre olduğunu
ÇÖZÜM bulunuz.

a) Köprü, ana taşıyıcı çelik halata beşer metre ara ile 11 çelik tel ile bağlı olduğundan 12 aralık vardır.
Bu durumda OC = 12 5$ = 60 m olur. Köprü, şekildeki gibi koordinat sistemi üzerine yerleştirilirse
,
,
ayakların köprüyü kestiği noktalar 00h ve 60 0h olur.
^
^
1 2
,
0
5
f 0 =
g
^
x = için y = ] g 10 $ ] 0 - 30 += 95 olduğundan parabol 095h noktasında y eksenini
3
keser yani OD = 95 m olur. Bu durumda köprünün ayak uzunluğu 95 + 15 + = 113 m bulunur.
y
D * 3m E
5m x
A O 5m B
15m 15m *
*

b) En kısa çelik tel, OC? nın orta noktasından geçen teldir.
5
Bu telin uzunluğu, parabolün tepe noktasının ordinatına eşittir.

T^ , rkh olmak üzere OC = 60 m olduğundan
60
r = 2 = 30 bulunur. Buradan
1 2
5
5
k = 10 $ ] 30 - 30 += olur. Bu durumda en kısa çelik telin uzunluğu 5 m olarak bulunur.
g
,
,
c) Parabol ve doğru 095h noktasında kesiştiğinden 095h noktası doğru denklemini sağlar.
^
^
Buradan
y = x 5 + c
c
95 = 50$ + c & = 95
y = x 5 + 95 bulunur.
OA nu bulmak için g ] xg doğrusunun x eksenini kestiği nokta bulunmalıdır. Bu nokta
0
y = için 0 = x 5 + 95
x 5 =- 95 & x =- 19 olur.
O hâlde OA = - 19 = 19 m bulunur. Köprü simetrik olduğundan köprünün uzunluğu
AB = 19 + 60 + 19 = 98 m bulunur.

Fen Lisesi Matematik 11 143