Page 14 - Fen Lisesi Matematik 11 | 6.Ünite

UZAY GEOMETRİ

3. Küre

Tanım Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan
noktaların kümesine küre yüzeyi, küre yüzeyinin
sınırladığı cisme de küre denir.
Sabit nokta kürenin merkezi, sabit uzunluk da kü-
renin yarıçapıdır.
Bir küre yüzeyinin bir düzlemle ara kesiti bir çem-
ber, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir.
Bir kürenin merkezinden geçen bir düzlemle ara
kesiti kürenin en büyük dairesidir. Şekil 6.1.13
Kürenin en büyük dairesinin çapı, aynı zamanda
kürenin de çapıdır (Şekil 6.1.13).

Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları
Yarıçapı r olan küre yüzeyinin alanı, en büyük dairesinin alanının 4
2
katına eşittir. A = 4 $ r r olur.
Şekil 6.1.14’te O merkezli r yarıçaplı yarım çember AB? etrafında
5
360c döndürülürse r yarıçaplı bir küre yüzeyi oluşur.
Bu yarım çemberin içine BCDEFA yarım düzgün bir çokgen çizilirse
şekildeki gibi bu çokgenin iç teğet çemberinin yarıçapı rT olur.
Şekil 6.1.14
BCDEFA düzgün yarım çokgenin AB? etrafında 360c dön-
5
dürülmesiyle oluşan cismin alanı AÇ ile gösterilirse bu alan
, DC 5
?
, FE 5?
?
5 AF 5 , ED 5 ? , CB?
nin döndürülmesiyle elde edilen alanların toplamına eşittir. Buna
göre
AÇ = 2 $ r rT $ AK + 2 $ r rT $ KL + 2 $ r rT $ LM + 2 $ r rT $ MN + 2 $ r rT $ NB
= 2 $ r rT ^ AK + KL + LM + MN + NB h
14444444444444444444 24444444444444444444 3
2r
= 2 $ r r 2$ r
T
AÇ = 4r r rbulunur .
T $
Düzgün yarım çokgenin kenarlarının uzunluklarını azaltarak kenar
sayısı istenildiği kadar artırılırsa rT = olacağından çokgenin alanı
r
^
^ A Çh kürenin alanına Ah eşit olur. Buradan
A Ç = 2r r 2$ r = 2 $r r 2$ r
T
2
A = 4r r elde edilir . r
4 r
Yarıçapı r olan kürenin hacmi V = 3 r $ r 3 olur.
Şekil 6.1.15 ve 6.1.16’da r yarıçaplı O merkezli bir küre ile taban O
yarıçapı r, yüksekliği 2r olan içi dolu bir dik dairesel silindir
görülmektedir. r O r
Silindirden tabanı silindirin tabanları ile çakışık tepe noktası silindirin r
ağırlık merkezi O noktası olan iki dik dairesel koni çıkartılıyor.
Silindirin ağırlık merkezinden ve kürenin merkezinden k birim Şekil 6.1.15 Şekil 6.1.16
uzaklıktaki düzlemle silindirin ve koninin ara kesit alanlarını bulunuz.

Fen Lisesi Matematik 11 241