Page 15 - Fen Lisesi Matematik 11 | 6.Ünite

UZAY GEOMETRİ

Şekil 6.1.17’de r yarıçaplı kürenin merkezinden k birim uzaklıktaki düzlemle ara kesiti m yarıçaplı bir dai-
2
2
2
redir. OPS dik üçgeninde Pisagor teoreminden m = r - k dir. Buradan kürenin ara kesit dairesinin alanı
2
2
2
AK = $ r m = ^ r - k h olur.
r
Şekil 6.1.18’de dik dairesel silindirin k birim uzaklıktaki düzlemle ara kesiti bir daire halkasıdır.
&
r
OB = AB = olduğundan OBA ikizkenar üçgendir. OCD ve OBA üçgenleri benzer üçgen olduğu için
k
OC = C D = olur.
Buradan silindir ara kesit daire halkasının alanı
2
2
2
2
r
AH = r r - r k = ^ r - k h olur.
AK = AH eşitliğinden kürenin ve içerisinden iki koni
çıkartılan silindirin merkezlerinden eşit uzaklıktaki
arakesit alanlarının eşit olduğu görülür. Bu durumda
Cavalieri İlkesi’ne (bk. Cavalieri İlkesi) göre bu iki cis-
min hacimleri eşittir. Böylece kürenin hacmi
V = Silindirin hacmi - 2$Koninin hacmi
3
2
2
V = r r 2 $ r - 2 $ 1 r r r $ = 2r r - 2 r r 3 Şekil 6.1.17
3
3
4
3
V = 3 r r elde edilir .
Cavalieri İlkesi
Yükseklikleri birbirine eşit olan iki katı cisim ile bir
düzlem verilmiş olsun. Verilen düzleme paralel olan
her düzlemle bu cisimlerin ara kesitleri eşit alanlı ise
bu iki cismin hacimleri birbirine eşittir.
Şekil 6.1.18

1. ÖRNEK

2
Bir kürenin merkezinden 5 cm uzaklıktaki düzlemsel kesitinin alanı 144r cm olduğuna göre bu kürenin
2
3
yüzey alanının kaç cm ve kürenin hacminin kaç cm olduğunu bulunuz.
ÇÖZÜM v
Şekildeki O merkezli r yarıçaplı kürenin merkezinden 5 cm uzaklıktaki
kesiti AB = r 2 d çaplı bir daire olacağından bu dairenin alanı
2
r rd = 144 &r rd = 12 cm olur.
OCA dik üçgeni özel üçgen olduğu için
OC = 5 cm 5
rd = AC = 12 ise A rd C B
r
OA == 13 cm olur.
2
2
2
Buradan kürenin yüzey alanı A = 4r r = 4 $r 13 = 676r cm olur.
Kürenin hacmi ise
4
V = 3 r r 3
4
= 3 $ r 12 3
3
= 2304r cm bulunur .

242 Fen Lisesi Matematik 11