Page 9 - Fen Lisesi Matematik 11 | 6.Ünite

UZAY GEOMETRİ

Dik Dairesel Koninin Alan ve Hacim Bağıntıları

Dik dairesel koninin tabanı daire olduğundan taban alanı A T = r r 2
olur (Şekil 6.1.10). Yanal alanı ise T merkezli yarıçapı a olan a merkez
açılı daire diliminin alanına eşittir.
' a '
Şekil 6.1.11’de ABA = 360c 2 $ r a ve ABA taban dairesinin çevresi
olduğundan
'
ABA = 2r r olur. Bu iki değer eşitlenirse
' a r a
ABA = 2 $ r a = 2r r & = bulunur.
360c a 360c
T merkezli daire dilimi koninin yanal yüzü olduğundan koninin yanal Şekil 6.1.10
alanı T
a a r
2
A Y = $ r a denkleminde = değeri yerine yazılırsa
360c 360c a a
r a a
2
yanal alan A Y = a $ r a = r ra bulunur.
Sonuç olarak dik dairesel koninin yüzey alanı, taban alanı ile yüzey ala- A A
nının toplamı olmak üzere B
2
A = A T + A Y = r r + r ra şeklinde elde edilir.
O

Şekil 6.1.11

Şekil 6.1.12’de tepe noktası T ve yarıçapı r olan koninin içerisine, tepe
noktası T ve köşeleri koninin taban çemberi üzerinde olacak şekilde
n kenarlı düzgün bir piramit yerleştiriliyor. Bu piramidin taban kenar
uzunlukları küçültülerek piramidin kenar sayısı istenildiği kadar artırı-
lırsa piramit, koniye dönüşür.
Bu durumda koninin hacmi, piramidin hacminde olduğu gibi taban
alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşit olur.
1
2
V = 3 $ r r h$ elde edilir.

Şekil 6.1.12

1. ÖRNEK

Taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan dik dairesel koninin
a) Yüzey alanının kaç cm olduğunu bulunuz.
2
3
b) Hacminin kaç cm olduğunu bulunuz.

ÇÖZÜM v
TOB dik üçgeni özel üçgen olduğundan TB = 13 cm olur.
r = 5 cmh 12 cm , a = 13 cm olup
, =
a) Dik dairesel koninin yüzey alanı
AY = r ra = r $$ 65r cm 2
513 =
2
AT = r r = 5 $ r 2 = 25r
2
A = AT + AY = 25r + 65r = 90r cm bulunur.
b) Dik dairesel koninin hacmi
2
2
3
V = 1 r r h$ = 1 $ r 512$ = 100r cm bulunur.
3
3
236 Fen Lisesi Matematik 11