Page 25 - Matematik 11 | 5.Ünite

Çember v e Dair e
A

Bir üçgenin köşelerinden geçen çembere üçgenin çevrel çemberi denir.
Yanda verilen ABC üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktası O
O olsun. Bu durumda |AO| = |BO| = |CO| olduğundan O, çevrel çemberin
merkezidir.
B C Bir üçgenin kenar orta dikmeleri çevrel çemberin merkezinden geçer.

A

Yandaki şekilde O merkezli ve R yarıçaplı çember, ABC üçgeninin çevrel
çemberidir. Çevrel çemberin yarıçapı R ile gösterilsin. Üçgenin kenarları,
O iç açıları ve çevrel çemberinin yarıçapı (R) arasındaki ilişki (sinüs teoremi)
R
aşağıdaki gibi olur.
B C

()

mA , mB = , mC = ; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olsun.
( )
W
V
() =
U
Çember üzerinde bir P noktası alındığında [BP] kenarı merkezden geçen
A
)
(
PCB üçgeni yandaki gibi çizilir. [BP] çap olduğundan mPCB = 90° olur.
\
α
()
U
() =
W
b P A ile P açıları aynı yayı gördüğünden mA = mP olur.
c α PCB dik üçgeninde
a a
O sinα = 2 R & 2 R = sinα olur .
R
β θ Benzer şekilde
B a C
c
b
2
2 R = sin ve R = sin eşitlikleri yazılır. Buradan
a b c a b c
sin = sin = sin = 2 R veya sin A = sin B = sin C = 2 R elde edilir.
W
U
V
26. Örnek
Köşeleri çember üzerinde bulunan yandaki ABC üçgeninde
A [BD]⊥[AC], |BD| = 4 cm, |AD| = 3 cm ve |BC| = 7 cm oldu-
ğuna göre çemberin yarıçap uzunluğunun kaç cm olduğunu
3
bulunuz.
D
4 Çözüm
ABD dik üçgeni 3-4-5 özel üçgeni olduğundan
B |AB| = 5 cm olur.
7 C
ABC üçgeninde sinüs teoremi uygulandığında
a = 2 R ⇒ 7 = 2 R olur.
()
()
sinA sinA
W
W
ABD üçgeninde sin ()A = 4 olduğundan
W
5
7 35
4 = 2 R ⇒R = 8 cm olur.
5
213