Page 100 - Matematik 12 | 5. Ünite

5.3.4. Maksimum ve Minimum Problemleri

Bilimde, mühendislikte ve iş hayatında bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinden
sıklıkla yararlanılır. Örneğin, fabrikalarda minimum harcamayla maksimum kazanç elde etmek
amaçlanır. Marketlerde satılan tüm konserve kutularının aynı fiziksel görüntüde ve yaklaşık 28,3
gram olduğu görülür. Bütün konserve kutularının belirli hacim ve aynı şekle sahip olmaları tesa-
düf değildir. Belirli bir hacimle üretilen konserve kutularında minimum miktarda metal kullanılarak
firmaların minimum maliyetle maksimum kazanç elde etmesi sağlanabilir.
(Zill ve Warren, 2013)
Maksimum ve minimum problemlerinde en büyük ya da en küçük olması istenen değeri tek
değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade ettikten sonra bu fonksiyonun maksimum ya da mini-
mum değeri araştırılır.

ÖRNEK

Toplamı 16 olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

ÇÖZÜM

y
Toplamı 16 olan iki sayı sırasıyla x ve y ise x += 16 olur .
y
x += 16 & y = 16 - x olur .
x
xy$ ifadesinde yyerine 16 - yazılarak xy$ ifadesi tek değişken türünden x 16 - xg olarak
$ ]
ifade edilebilir.
Bu durumda xy$ çarpımı f x = x 16 - xg fonksiyonu ile ifade edilirse xy$ çarpımının en
] g
$ ]
büyük değerini alması için f x = x 16 - xg fonksiyonunun maksimum değeri bulunmalıdır.
$ ]
] g
f x = x 16 - g f x = 16 x - x 2
] g
$ ]
x & ] g
f x =
& l] g 16 - 2 x - 3 3
f x = 0 & 16 - 2 x = 0
l] g
2
& x = 16
& x = 8 olur .
8
f x ]g fonksiyonunun türevinin işaret tablosu incelenirse fonksiyonun maksimum değerini x =
için aldığı görülür. Bu durumda fonksiyonun maksimum değeri f 8 ]g olup bu değer

f 8 = 16 8$ - 8 2
] g
= 64 olur .
O hâlde toplamı 16 olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değer 64 bulunur.

ÖRNEK
Duygu ve kardeşi Uğur, harçlıklarından biriktirerek Anneler Günü hediyesi almak istiyorlar.
Duygu’nun günlük harçlığı x TL ve Uğur’un günlük harçlığı y TL dir. Duygu tüm harçlığını 3y gün
ve Uğur ise tüm harçlığını 3x gün biriktiriyor. Duygu’nun 2 günlük harçlığı ile Uğur’un 3 günlük
harçlığının toplamı 24 TL dir. Biriken toplam paranın en fazla olabilmesi için Duygu ve Uğur’un
günlük harçlıklarının kaç TL olması gerektiğini bulunuz.

Türev
278