Page 106 - Matematik 12 | 5. Ünite

ÖRNEK

y 2 2
3
2
Yanda y = x + ve y =- x + 4 x - fonksiyon-
2
2
larının grafiği verilmiştir. A noktası y = x + ve
2
3
B noktası y =- x + 4 x - eğrileri üzerindedir.
Buna göre y eksenine paralel olarak çizilen AB? nın
5
uzunluğunun alabileceği en küçük değerin kaç
x birim olacağını bulunuz.

ÇÖZÜM

a
A ve B noktalarının apsisleri x = olsun.
2
2
2
2
A noktası y = x + parabolü üzerinde olduğundan A noktasının ordinatı y = a + olur.
2
3
Benzer şekilde B noktası y =- x + 4 x - parabolü üzerinde olduğundan B noktasının ordinatı
2
3
y =- a + 4 a - olur.
2 2
A ve B noktaları y eksenine paralel olduğundan A` , aa + 2j ve B` , a - a + 4 a - 3j noktaları
arasındaki uzaklık A noktasının ordinatı ile B noktasının ordinatının farkına eşittir. Buna göre
2 2
3
AB = _ a + i - a + 4 a - i
2 - _
2
= 2 a - 4 a + 5 olur .
2
5
Bu durumda AB? nın uzunluğu f a = 2 a - 4 a + fonksiyonu ile ifade edilirse AB? nın
5
]g
5
2
5
uzunluğunun en az olması için f a = 2 a - 4 a + fonksiyonunun minimum değeri bulunmalıdır.
]g
2
f a = 2 a - 4 a + 5 & f a = 4 a - 4 - 3 3
l] g
] g
f a = 0 & a4 - 4 = 0
l] g
& a = 1 olur .
f a ]g fonksiyonunun türevinin işaret tablosu incelenirse fonksiyonun minimum değerini a = 1
için aldığı görülür. Bu durumda fonksiyonun minimum değeri f 1 ]g olup bu değer

2
f 1 = 21 $ - 41 $ + 5
] g
= 3 bulunur .
Bu durumda AB? nın uzunluğunun alabileceği en küçük değer 3 birim olur.
5

Türev
284