Page 85 - Matematik 10. Sınıf Beceri Temelli Etkinlik

Ortaöğretim Genel Müdürlüğü MATEMATİK 10 71

Katı Cisimler Kazanım: 10.6.1.1. Dik prizmalar ve dik piramitlerin uzunluk, alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
Alan Becerileri: Muhakeme, ilişkilendirme Genel Beceriler: Problem çözme
Etkinlik İsmi SİERPİNSKİ PİRAMİDİ 20 dk.
Amacı Eşkenar üçgen dik piramidin yüzey alanını ve hacmini hesaplayabilme. Bireysel

Matematiğin sanatsal boyutu üzerine araştırmalar yapan bir öğrenci fraktallar konusundaki gör-
sellere hayran kalır. Bir geometrik şeklin belli bir oranda büyütülmüş ya da küçültülmüş hallerinin bir
araya gelmesiyle oluşturulan, kendi kendini tekrar eden örüntülere fraktal denir. Fraktallar üzerine
araştırmalar yapmaya başlayan öğrenci Polonyalı matematikçi Waclav Sierpinski (Zaklav Siyerpinski)
tarafından tanıtılan aşağıdaki fraktal örneğini görür.

Başlangıç durumu 1. Adım 2. Adım 3. Adım 4. Adım
Birinci adımda, alınan bir eşkenar üçgenin tüm kenarlarının orta noktaları işaretlenip birleştirilir
ve dört yeni eşkenar üçgen oluşur. Merkezde oluşan üçgen kesilip atılır.
İkinci adımda, kalan üç eşkenar üçgen için aynı işlem uygulanır ve dokuz yeni eşkenar üçgen elde
edilir. Benzer şekilde örüntüye sonsuz adım devam edildiği düşünülürse oluşan şekle Sierpinski üçgeni
denir.
Meraklı öğrenci, kâğıt düzleminde ilk 4 adımı verilen Sierpinski üçgeni yapısının üç boyutlu hâlini
düşünür ve Sierpinski piramidi denilen yapıyı elde eder.

Başlangıç durumu 1. Adım 2. Adım 3. Adım 4. Adım
İlk olarak bütün ayrıtlarının uzunlukları birbirine eşit olan bir üçgen dik piramit (düzgün dört
yüzlü) alınır. Birinci adımda her bir yüzdeki ayrıtların orta noktaları işaretlenir ve bu noktalar birleş-
tirilir. Böylece dört yeni düzgün dört yüzlü ve piramidin orta bölgesinde oluşan sekiz (üçgensel) yüze
sahip bölge elde edilir. Bu sekiz yüzlü bölge kesilip atılır.
İkinci ve sonraki adımlarda oluşan düzgün dört yüzlülerin her biri için aynı işlem uygulanarak
örüntü elde edilir. Bu örüntünün sonsuz adım devam ettiği düşünülürse oluşan şekle Sierpinski pira-
midi adı verilir.
Yukarıda verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Aşağıdaki tabloyu başlangıç durumunda bir ayrıtı 6 birim olarak verilen düzgün dört yüzlü için
doldurunuz.
Oluşan düzgün dört yüzlü Oluşan şeklin yüzey Oluşan şeklin
sayısı alanı (br2) hacmi (br3)
2. Adım
3. Adım
4. Adım
n. Adım

2. Yukarıdaki tabloda yüzey alanıyla ve hacimle ilgili elde ettiğiniz sonuçları yorumlayınız.

83
Hazırlayan: Dr. Selim ÇOBANOĞLU