Page 9 - Fen Lisesi Matematik 9 | Denklemler ve Eşitsizlikler

DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

11. ÖRNEK
2 sayısının rasyonel bir sayı olmadığını gösteriniz.

ÇÖZÜM
2 sayısının rasyonel olduğunu varsayınız.
a
,
O hâlde 2 = b ! Q ab ! Z ,b = Y 0h olacak şekilde aralarında asal (1 den başka ortak böleni olmayan)
^
a ve b tam sayıları vardır.
Her iki tarafın karesi alınırsa
2
a
a
2
2
2
^ 2h 2 = b l 2 & 2 = b 2 & a = 2 b olup a çift sayıdır.
b
2
a çift sayı ise a da çift sayıdır. a = 2 ] Zg şeklinde yazılır. Bu değer yerine yazılırsa
, k k !
2
2
2
2
k 2 ] g 2 = 2 b & k 4 2 = 2 b & b = k 2 2 bulunur. Benzer düşünceyle b çift sayı olduğundan
b de çifttir. b = 2 ] Zgşeklinde yazılır.
, h h !
Hem a hem de b nin çift tam sayı olması, aralarında asal olmadığı sonucunu verir. Bu durum varsayımla
çelişir. O hâlde varsayım yanlıştır. 2 rasyonel sayı değildir.
, 32 7 , 2 + 5 gibi sayıların da rasyonel sayı olmadıkları gösterilebilir.
İrrasyonel Sayılar Kümesi
a
, ab ! Z ve b = Y olmak üzere b şeklinde yazılamayan, başka bir ifadeyle ondalık açılımı sınırsız ve
0
devirsiz olan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi 'Q ile gösterilir.

Bir önceki örnekte 2 sayısının rasyonel bir sayı olmadığı gösterilmişti. Bu tanıma göre 2 sayısı bir
irrasyonel sayıdır. Aynı şekilde ,er ve karekök dışına çıkarılamayan 3 , 5 , 6 gibi sayılar da birer irrasyonel
sayıdır.

12. ÖRNEK
2 sayısının sayı doğrusu üzerindeki yerini gösteriniz.

ÇÖZÜM

A
2
1
O 2
0 1 B P 2

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, bir köşesi O noktasında bulunan ve dik kenar uzunlukları birer birim olan
ikizkenar dik üçgen oluşturunuz. Bu durumda, OA = 2 birim olur. O merkezli OA yarıçaplı bir çember
çizilir ve çemberin sayı doğrusunu kestiği noktaya P denirse
OP = OA = 2 birim olduğundan P noktası 2 ye karşılık gelir.
2
1 < 2 < olduğu şekilden görülür. 2 = , 1 41421 ...

Fen Lisesi Matematik 9 | 95