Page 459 - Dört Dörtlük - AYT - Matematik

ÇÖZÜMLÜ SORULAR Belirsiz İntegral MATEMATİK

34. Tanımlı olduğu aralıklarda f fonksiyonu ile birinci türevi olan 36. Tanımlı olduğu aralıkta f fonksiyonunun herhangi bir nok-
f' fonksiyonu için, tasındaki eğimi o noktasındaki apsisinin ordinatına oranına
eşittir.
2
f′(x) + �f(x)dx = x - 4x + 1
f(3) = 5 olduğuna göre f(- 8) aşağıdakilerden hangisi olabilir?
eşitliği sağlanmaktadır.
A) §5 B) 2§5 C) 3§5 D) 4§5 E) 5§5
Buna göre f(1) değeri kaçtır?
A) - 2 B) 0 C) 3 D) 4 E) 6 Çözüm:

Herhangi bir noktadaki eğim o noktanın apsisinin ordinatına
x
Çözüm: oranına eşit ise f′(x) = ⟹ f′(x) ∙ f(x) = x olur.
y
f′ (x) + �f(x) dx = x - 4x + 1
2
Eşitliğin her iki tarafının integrali alındığında
Verilen ifadenin sağ tarafı 2. derecedendir. f(x)'in türevi alın-
�f′(x) ∙ f(x) dx = �x dx olur.
dığında derecesi bir küçülür, tersine integrali alındığında ise
derecesi bir artar ve bu ikisi toplandığında ikinci dereceden f(x) = u ⟹ f′(x) dx = du değişken değiştirmesi yapıldığında
oluyor ise f(x) birinci dereceden olmak zorundadır. Bu durumda u 2 x 2
�u du = �x dx ⟹ = + c bulunur. (c bir gerçek sayıdır. )
f(x) = ax + b olsun. 2 2
Bulunan ifadede u yerine f(x) yazıldığında
a 2
f′(x) = a ve �f(x) dx = x + bx + c olacaktır. (c bir gerçek (f(x)) 2 x 2 2 2
sayıdır. ) 2 2 = + c ⟹ (f(x)) = x + c bulunur.
2
a f(3) = 5 ⟹ (f(3)) = (3) + c ⟹ 25 = 9 + c ⟹ c = 16 bulunur.
2
2
2
2
a + x + bx + c = x - 4x + 1 olur.
2
2 2 2 2
(f(x)) = x + 16 ⟹ (f(- 8)) = (- 8) + 16
a = 2, b = - 4 ve c = - 1 bulunur.
2
f(x) = 2x - 4 ise f(1) = 2 - 4 = - 2 olarak bulunur. ⟹ (f(- 8)) = 80 ⟹ f(- 8) = ±4§5 olarak bulunur.
Cevap: D
Cevap: A
37. Tanımlı olduğu aralıkta y = f(x) fonksiyonun tüm noktalardaki
35. c bir gerçek sayı olmak üzere teğetinin eğimi - 2x + k dir.
x
� dx f fonksiyonunun A(3, 8) noktasında ekstremumu olduğu-
4
2
x - 2x + 1 na göre fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatı
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
kaçtır?
-1 -1 -1
A) + c B) + c C) + c
2
2
(x - 1) 2(x - 1) (x - 1) A) - 3 B) - 2 C) - 1 D) 2 E) 3
2
1 -x
D) + c E) + c Çözüm:
2
2
2(x - 1) 2(x - 1)
y = f(x) fonksiyonun tüm noktalardaki teğetinin eğimi - 2x + k
ise f′(x) = - 2x + k dir. y = f(x) fonksiyonunun A(3, 8) nokta-
Çözüm:
sında ekstremumu olduğuna göre f′(3) = 0 dir.
4
2
x - 2x + 1 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında
f′(3) = 0 = - 2 ∙ (3) + k
2
2
2
2
(x - 1) ∙ (x - 1) = (x - 1) olur.
k = 6
x - 1 = u değişken değiştirmesi yapılarak her iki tarafın dife-
2
ransiyeli alındığına 2x dx = du olur. �f′(x) dx = �( - 2x + 6 ) dx
2
Bulunan değerleri integralde yerine yazalım f(x) = - x + 6x + c (c bir gerçek sayıdır.)
1 du -1 2
∙ � = + c f(3) = 8 = - (3) + 6(3) + c ⟹ c = - 1
2 u 2 2u
-1 2
2
u yerine x - 1 yazıldığında + c f(x) = - x + 6x - 1
2
2(x - 1)
olarak bulunur. x = 0 için y = - 1 olarak bulunur.
Cevap: B Cevap: C
458 459