Page 38 - Matematik 10 | 1.Ünite

Ver , Sayma ve Olasılık

10.1.1.6. Binom Açılımı
Aşağıdaki özdeşlikleri inceleyiniz.
2
y =
^ x + yh 2 = ^ x + y $ ^h x + h x + 2 xy + y 2
3
2
3
2
y =
^ x + yh 3 = ^ x + y $ ^h x + y $ ^h x + h x + 3 x y + 3 xy + y
Yukarıdaki özdeşliklerin bulunmasında çarpma yöntemi ile kolayca sonuca ulaşılabilir.
x + yh 10 ifadesinin açılımının bulunmasında ise bu yöntemin uygulanmasının zor olacağı ve zaman
^
alacağı görülür. Bu nedenle kuvvetleri 4 ve 4 ten büyük olan ifadelerin açılımında aşağıdaki yöntemin
uygulanması daha uygun olur.

Bilgi

n
0
x + y ! ve n ! N olmak üzere x + yh ifadesinin
^
^ x + yh n = b n x $ l n0- y $ 0 + b n x $ l n 1- y $ 1 + b n x $ l n 2- y $ 2 + ... + b n x $ l nn- y $ n
n
2
0
1
144444444
144444444
3
244444444
3
144444444
244444444
244444444 3 144444444 244444444 3
1. terim 2. terim 3. terim (n 1).terim+
şeklindeki açılımına binom açılımı denir.
r
Baştan (r + 1 ). terim aynı zamanda sondan (n -+ 1 ). terimdir (r # n ve r ! N ).
(Bu açılım x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.)
62

3
^ x + yh 2 ve x - yh ifadelerinin özdeşini binom açılımı yardımıyla bulunuz.
^

^ x + yh 2 = b 2 l $ ^ xh 20- $ ^ yh 0 + b 2 l $ ^ xh 2 1- $ ^ yh 1 + b 2 l $ ^ xh 22- $ ^ yh 2
0
2
1
= 1 x $ 2 1 $ + 2 $$ 1 1$$ y 2
x y +
2
2
= x + 2 xy + y olur .
^
^
^
^
^ x - yh 3 = b 3 l $ ^ xh 30- $ - yh 0 + b 3 l $ ^ xh 3 1- $ - yh 1 + b 3 l $ ^ xh 32- $ - yh 2 + b 3 l $ ^ xh 3 3- $ - yh 3
0
1
3
2
y +
= 1 x $ 3 1 $ + 3 x $ 2 $ - h 3 x $$ - yh 2 + 11$$ - yh 3
^
^
^
2
2
3
3
= x - 3 x y + 3 xy - y olur .
İpucu
n
^ x + yh ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r + 1 ). terim b n x $ l nr- y $ r olur.
r
50