Page 36 - Matematik 10 | 1.Ünite

Ver , Sayma ve Olasılık

10.1.1.5. Pascal Üçgeni

Bilim İnsanları
Fransa’da doğan Blaise Pascal (Bleyz Paskal) (1623-1662), matematiğe
ve geometriye olan büyük ilgisi nedeniyle daha 12 yaşındayken geometri
üzerinde çalışmaya başladı. Babası vergi toplayıcısı olarak atandığında
vergileri toplamasına yardımcı olmak amacıyla 1642-1645 yılları arasında
üç yıl çalışarak ilk sayısal hesap makinesi olan ve “Pascalin” adı verilen
cihazı icat etti. Daha sonra fizik ve matematik üzerine çalışmaya başladı.
1653’te sıvıların dengeleri üzerine hazırladığı tez ile Pascal, basınç ile ilgili
kanununu ortaya koydu. Bu tez, bilim insanlarınca bilim tarihinde hidrostatik
sistemin tam bir taslağı ve Pascal’ın fizik teorisine yaptığı en önemli katkı
olarak kabul edildi. Pascal ayrıca geometride koniklerle ilgili birçok teorem
geliştirdi. Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel
Blaise Pascal (Bleyz Paskal)
bir dizidir.
Ünlü matematikçi Pascal, aritmetik üçgen üzerine bir tez yazmış; burada üçgenin özelliklerini orta-
ya koymuştur. Ancak Pascal, bu üçgeni çizen veya inanılmaz özelliklerini fark eden ilk kişi değildir.
Üçgenin bu özellikleri kendi zamanına kadar birçok medeniyet tarafından bulunmuş, bu üçgen farklı
adlarla ifade edilmiştir. Örneğin Hintli matematikçiler bu üçgeni “Meru Dağı’nın Merdivenleri”, Çinli
matematikçiler “Yang Hui üçgeni”, İranlı matematikçiler ise “Hayyam üçgeni” olarak adlandırmışlar-
dır. Pascal’dan daha önce, 10. yüzyılda Hintli matematikçiler bu sayı dizisini şiirin ölçülerindeki kısa
ve uzun seslerin birleşimlerinin sayısını temsil etmek için kullanmışlardır. Sonraki yüzyıllarda Batı
dünyasında bilimin gelişmesi ile bu üçgen günümüzde Fransız matematikçi ve filozof Pascal’ın adıyla
anılmaktadır.
Üçgen, 11. yüzyılda İran’da yaşayan ünlü gökbilimci, şair, filozof ve matema-
tikçi olan Ömer Hayyam’ın yazılarında da görülmüştür. (x + ) y n ifadesinin
açılımındaki terimlerin katsayıları ile oluşturulan şemanın (Pascal üçgeni)
Ömer Hayyam’a ait olduğu ileri sürülmektedir. Hayatını bilimsel araştırmalara
adamış olan Ömer Hayyam’ın analitik geometrinin gelişimi üzerindeki etkisi
çok büyüktür. Hayyam aynı zamanda irrasyonel sayıların da rasyonel sayılar
gibi kullanılabileceğini ilk defa kanıtlamıştır. İrrasyonel sayıların varlığını
göstererek Öklidyen olmayan geometrilerin olduğunu ifade etmiştir. Hay-
2
3
yam, x + 200 x = 20 x + 200 şeklindeki kübik denklemin pozitif x değerlerini
(köklerini) bulmuştur. Bu çözümünü geometrik olarak da konik kesiti olarak
da ortaya koymuştur. Üçüncü dereceden denklemleri de kapsayan birçok
Ömer Hayyam heykeli cebirsel denklemi sınıflandırmış ve bunlara çözüm yolu bulmuştur. Cebirsel
denklemlerin çözümünü konikleri kesiştirerek bulmaya çalışmış ve bunu bir
metoda çevirmek için uğraşmıştır. Üçüncü derece denklemleri “üç terimliler” ve “dört terimliler” olarak
iki kategoriye ayırmış ve her kategoriyi kendi içinde sınıflandırmıştır. Her biri için genel çözümler
bulmaya çalışmış ayrıca üçüncü dereceden 13 denklemi konikler üzerine inşa etmiştir. Denklemlerde
bilinmeyenleri önce “şey”, sonra “x” ile ifade etmiştir. Üçüncü derece denklemlerin genel çözümü-
nün hesaplama ile dördüncü derece denklemlerin ise geometri ile çözülemeyeceğini düşünmüştür.
Aritmetik metotlarla çözülemeyeceğine inandığı denklemleri çember, parabol ve hiperbol kullanarak
çözmüştür. Ömer Hayyam’ın bilime bir diğer katkısı da mevsimlere tam olarak uyum gösteren, hata
payı 5000 yılda 1 gün olan Celâli takvimidir. Bu takvimle bir yılın 365,24219858156 gün olduğunu
hesaplamıştır.

Üçgen ile ilgili Pascal’dan önceki bir diğer çalışma da Çinlilere aittir. Çinli matematikçi Chu Shih
Chieh (Çu Sih Çieh), üçgeni 14. yüzyılın başlarında tasvir etmiş ve 1303 tarihli “Dört Elementli Kıy-
metli Ayna” adlı kitabında binom genişlemesi için katsayılar sağlamada üçgenin kullanımını anlatmıştır
(Unat, 2007, s. 66-68; http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pascal.html).
Düzenlenmiştir.

48