Page 21 - Fen Lisesi Matematik 10 | 5.Ünite

GEOMETRİ

Dörtgende Alan Bağıntısı

Bir dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ile köşegenler arasında kalan
açının sinüs değeriyle çarpımının yarısına eşittir (Şekil 5.2.10).
f
AC = eveBD = olmak üzere
1
A ABCD = 2 $ AC $ BD sina
$
h
^
1
= 2 $$ a
ef sin$
İspat
Şekil 5.2.10
AE = x, EC = y, BE = zve DE = t olmak üzere
c
S,S,S,S bulundukları bölgenin alanı olsun (Şekil 5.2.11). Bu durumda sina = sin 180 - ah olduğundan
^
4
3
1
2
AABCD = S + S + S + S olur.
_
i
1
3
2
4
1 _ & S1 + S2 + S3 + S4
b
b
S1 = 2 $$ ab 1
xz sin$
b
b
$
$ @
b
1 b = 2 $ 6 xz $ + yz $ + yt $ + xt sina
b
S2 = 2 $$ ab 1
yz sin$
b b
y +
x $
$ ^
$ ^
b
1 ` = 2 $6 z x + h t y + h@ sina
b
yt sina b
S3 = 2 $$ $ b 1
b
b =
+ g@
y $ ]
1 b 2 $ ^ 6 x + h zt $ sina
b
S4 = 2 $$ $ b 1
xt sina b b
ef sinolur.
Şekil 5.2.11 a = 2 $$ $ a
Sonuç
AC $ BD ef $
c
Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı A ABCD = 2 = 2 olur. (sin90 = 1).
h
^
5. ÖRNEK
Şekildeki ABCD dörtgeninde A, K, C ve D, K,B doğrusal
AD = DK = 10 cm
AK = 16 cm
BK = 5 cm
KC = 4 cm veriliyor .
2
Buna göre A ABCDh nin kaç cm olduğunu bulunuz.
^
ÇÖZÜM
Şekilde ADK ikizkenar üçgeninde tabana ait yükseklik çizilirse
6
sin a = 10 olurBuradan
.
1
A ABCD = 2 $ AC $ BD $ sin a
h
^
1 2 6
= $ 20 15 $
$
2 10
2
= 90 cm bulunur .
Fen Lisesi Matematik 10 245