Page 16 - Fen Lisesi Matematik 10 | 5.Ünite

GEOMETRİ

13. ÖRNEK

Bir iş yeri sahibi, iş yerinin tabanını şekildeki gibi üzerinde bir kenar
uzunluğu 30 2 cm olan düzgün sekizgen ve düzgün altıgen motifleri
olan kare fayanslarla döşetecektir.
2
İş yerinin taban ebatları 1200 + 600 2 #^ 3000 + 15002h cm ve
h
^
1
, c
tan225 = 2 - olduğuna göre iş yerine döşenen fayanslarda düz-
gün sekizgenler ile düzgün altıgenlerin arasında kalan bölgelerin alanları
toplamının kaç m olduğunu bulunuz.
2
ÇÖZÜM
Düzgün sekizgende bir dış açının ölçüsü 360c = 45c olur.
8
Buradan kare ile düzgün sekizgen arasında kalan üçgenin ikizkenar dik üçgen olduğu görülür. Buna göre ikizke-
nar dik üçgenin hipotenüsü 30 2 cm olduğundan dik kenarların uzunluğu 30 cm olur. O hâlde kare şeklinde-
ki fayansların bir kenar uzunluğu 60 + 30 2 h cm olur.İş yerine döşenecek fayans sayısını bulmak için taban
^
alanı bir fayans alanına bölünürse
h
^ 1200 + 600 2 $ ^ 3000 + 1500 2h
= 20 50$ = 1000 adet bulunur.
^ 60 + 30 2 $ ^ 60 + 302h
h
Şekildeki gibi düzgün sekizgende köşeler düzgün sekizgenin merkezi
olan O noktası ile birleştirilirse sekiz tane eş ikizkenar üçgen oluşur.
Buradan OAB ikizkenar üçgeninde OH yüksekliği çizilirse taban iki eş
parçaya bölünür. OHB dik üçgeninde tanjant oranından

HB 15 2 22 ,5c 22 ,5c
,5 =
tan22 c = = 2 - 1
OH OH
15 2
& OH = = 30 + 15 2 cm olur .
2 - 1
^ 21+ h
Buna göre eş ikizkenar üçgenlerden birinin alanı 15 2 15 2
& AB $ OH
A OAB = 2
^
h
30 2 $^ 30 + 15 2h
= 2 = ^ 450 + 450 2h cm 2 olur .
O hâlde düzgün sekizgenlerden birinin alanı
2
A = 8 $^ 450 + 450 2 = ^ 3600 + 36002h cm olur.
h
Şekildeki gibi düzgün altıgende köşeler düzgün altıgenin merkezi olan O
noktası ile birleştirilirse altı tane eşkenar üçgen oluşur. Buna göre eşke-
nar üçgenlerden birinin alanı
2
& ^ 30 2h 3
2
A OAB = 4 = 4503 cm olur. 30 2 60c 30 2
^
h
O hâlde düzgün altıgenlerden birinin alanı
2
A = 6450 3$ = 27003 cm olur. 60c 60c
Buna göre bir fayansta düzgün sekizgen ile düzgün altıgen arasında kalan 30 2
2
bölgenin alanı A = ^ 3600 + 36002 - 2700 3h cm olur.
İş yerine 1000 adet fayans döşeneceğinden düzgün sekizgenler ile düz-
gün altıgenlerin arasında kalan bölgelerin alanları toplamı

h
1000 $^ 3600 + 36002 - 2700 3 = ^ 3600 000 + 3600 0002 - 2700 0003h cm 2
2
= ^ 360 + 360 2 - 270 3h m bulunur .

240 Fen Lisesi Matematik 10