Page 29 - Matematik 11 | 3.Ünite

F onk siy onlar da Uy gulamalar

41. Örnek
y
ABC ikizkenar dik üçgen, [AB]⊥[AC] ve KLMN
dikdörtgendir. K, L noktaları sırasıyla [AB], [AC] B
kenarları üzerinde ve |BC| = 4 birim olduğuna göre
a) Dikdörtgenin alanını x cinsinden bulunuz. K(x,y)
b) Bulduğunuz alan fonksiyonunun grafiğini çiziniz. N
c) Dikdörtgenin alanının maksimum olduğundaki
x değerini bulunuz. O ⟔ A x

M
L

Çözüm C
a)ABC ikizkenar dik üçgen olduğundan
(
mCBA ) = mACB ) = 45° olur. y
(
\
\
|BC|= 4 birim olduğundan |BO|=|OA|=|OC|=2 birim
olur. Buna göre B
A ve B noktalarının koordinatları A(2,0) ve B(0,2) olur. 45°
y
AB doğrusunun denklemi x + 2 = 1 olur. Buradan K(x,y)
2
x + y = 2 ise y = 2 - x olur. Buradaki y değeri KLMN N
dikdörtgeninin x ekseninin üst kısmında kalan x
yüksekliğini verir. O ⟔ A
K ve L noktaları x eksenine göre simetrik olduğundan M
dikdörtgenin yüksekliği |KL|= 4 - 2x olur. L
.
Dikdörtgenin alanı A(x) = x (4 -2x) = 4x - 2x birimkare 45°
2
olarak bulunur. C

y
b) A(x) = 4x - 2x fonksiyonunun grafiği
2
y eksenini x = 0 için y = 0 noktasında,
x eksenini y = 0 için T(1, 2)
.
4x-2x = 0 ⇒ 2x (2-x) = 0
2
⇒ x = 0 ve x = 2 noktalarında keser.
b - 4 2 x
r =- a 2 = 2 - ) = 1 O
.
( 2
.
A(1) = 4 1 - 2 1 = 2 değerleri için tepe noktasının
. 2
koordinatları T(1,2) olarak bulunur. Buna göre A(x) = 4x - 2x 2
parabolün grafiği yandaki gibi olur.

c) b şıkkında bulunan r değeri fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktanın apsisidir.
r nin aldığı bu değer, dikdörtgenin alanının maksimum olması durumunda x in değeridir.
Buradan x = 1 olur.

149