Page 25 - Matematik 11 | 3.Ünite

F onk siy onlar da Uy gulamalar

34. Örnek

f(x) = -x + 3x fonksiyonunun grafiğinin x - y = -2 doğrusuna en yakın noktasını bulunuz.
2
Çözüm
Doğru denklemi düzenlendiğinde y = x + 2 olur. y = x + 2
y = x + 2 doğrusuna paralel ve fonksiyonun grafiğine
(parabol) teğet olan doğru çizilir. y = x + k
Bu doğrunun parabole değdiği nokta y = x + 2 doğrusuna
en yakın olan noktadır.
y = x + 2 doğrusuna paralel ve parabole teğet olan doğru
2
y = x + k olsun. Bu doğru denklemi ile parabol denklemi y = -x + 3x
ortak çözülür.
-x + 3x = x + k ⇒ x - 2x + k = 0
2
2
Doğru, parabole teğet olduğu için
. .
∆ = b - 4ac = (- 2) - 4 1 k = 0 olmalıdır.
2
2
Buradan 4 - 4k = 0 ⇒ k = 1 olur. Ortak çözüm denkleminde k = 1 yazıldığında
x - 2x + 1 = 0 ⇒ (x-1) = 0 ⇒ x = 1 elde edilir.
2
2
x = 1 için y = 1 + 1 = 2 olur. İstenen nokta (1, 2) olarak bulunur.

35. Örnek
y = x + ax + 2 parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre a nın
2
pozitif değerini bulunuz.

Çözüm
Orijinden geçen eğimi m olan teğetlerden birinin denklemi y = mx olsun.
y = mx doğru denklemi ile parabolün denkleminin ortak çözümü yapılır.
2
2
x + ax + 2 = mx ⇒ x + (a - m)x + 2 = 0
. .
Bu denklemde ∆ = (a - m) - 4 1 2 = 0 olmalıdır.
2
(a - m) - 8 = 0 ⇒ a - m = 22 veya a - m = 22 olur. m nin iki değeri vardır.
2
-
Teğetlerden birinin eğimi m , diğerinin eğimi m olsun. Buradan
2
1
m = a - 22 ve m = a + 22 olarak bulunur.
2
1
Teğetler birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı m .m = -1 olur.
1
2
.
2
2
(a - 22 ) (a + 22 ) = -1 ⇒ a - 8 = -1 ⇒ a = 7
⇒ a = 7 veya a = - 7 olur. Buradan
a nın pozitif değeri 7 olur.

145