Page 16 - Matematik 11 | 6.Ünite

Ge ome tri

17. Örnek

Taban merkezi O olan yanda verilen koni, şekildeki gibi T,
T
A, B noktalarından geçen bir düzlem ile kesiştiriliyor ve TAB
üçgeni oluşturuluyor.
&
|TO| = 6 birim, (ATAB = 40 birimkare, |AB|= 10 birim
)
6 olduğuna göre koninin hacminin kaç birimküp olduğunu
bulunuz.
B
O 10 Çözüm
TAB üçgeni koninin ana doğru parçalarından oluşan
A
ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgenin TH yüksekliği
&
T çizildiğinde TAB üçgeninin alanı (ATAB = TH 2 . AB olur.
)
.
TH 10
40 = 2 ⇒ |TH|= 8 birim olur.
|AH| = |HB| = 5 birim olur.
6 TOH dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
B |OH|= 27 birim olur.
5
O 27 H OAH dik üçgeninde r hipotenüs olur.
r 5 OAH dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
A r = 28 + 25 ⇒ r = 53 olur. O hâlde
2
2
.
rh
π .. π . 53 6
2
koninin hacmi V = 3 = 3 = 106π birimküp olur.
18. Örnek

Yandaki şekilde yüksekliği 25 cm olan koni biçimindeki
kaba bir musluktan sabit hızla su akmaktadır. Bir saat
içerisinde kapta biriken suyun yüksekliği 15 cm olduğuna
göre kabın kaç saatte dolacağını bulunuz.

Çözüm
25 cm
Büyük koninin taban yarıçapı r, küçük koninin taban
yarıçapı r 1 olsun. TO 1 B ile TOA üçgenlerinin benzerliğinden
15 cm
r 1 15 3 olur.
r = 25 = 5
r 1 = 3k , r = 5k olsun. |TO 1 |=15 cm, | TO |=25 cm olur.
Küçük koninin içindeki suyun hacmi
O r A π .. TO 1 π . ()k 3 2 . 15 135 2 .
2
.
r 1
2
3
3 = 3 = khπ = 45 khπ olur.
Büyük koninin alabileceği suyun hacmi
r
π .. TO π . ()k 5 2 . 25 625 k 2 .
2
= = hπ olur. Buradan
25 cm O 1 B 3 3 3
r 1
1 saatte 45 k . hπ
2
15 cm x saatte 625 k 2 . h olur. Buradan
T 3
125 125
x = 27 olur. O hâlde kap 27 saatte dolar.

250