Page 18 - Matematik 11 | 6.Ünite

Ge ome tri

20. Örnek

Yarıçapı 20 cm olan küre şeklindeki bir karpuzun iki eş parçasından biri
yanda verilmiştir. Buna göre karpuz parçasının yüzey alanını bulunuz.

Çözüm

Şekilde görüldüğü gibi karpuzun kesiti bir daire oluşturur ve karpuzun kabuğu küre
yüzeyinin yarısıdır. Küre yüzeyinin yarısının alanı ile dairenin alanının toplamı karpuz
parçasının yüzey alanına eşittir.
Dairenin ve küre yüzeyinin yarısının yarıçapı aynı olduğundan
.
2
dairenin alanı π r = π 20 = 400π cm ve
. 2
2
4 r 2
.
küre yüzeyinin yarısının alanı 2 = 2π r = 2π 20 = 800π cm olur. Buradan
2
. 2
2
karpuzun yüzey alanı 400π cm + 800π cm = 1200π cm olur.
2
2
2
Kürenin Hacmi
Bir kürenin yüzeyine n tane ilmekli bir ağ gerilmiş ve ağın her
bir gözü birer taban olsun. Taban köşeleri kürenin merkezinde
birleştirilerek piramide benzeyen şekiller oluşturulsun. Bu
şekillerin her biri küreyi n tane parçaya böler. Ağ gözleri sıklaştıkça
düzleşir. Piramide benzeyen bu şekillerin yüksekliği ağın göz sayısı
artırılarak kürenin yarıçapına yaklaştırılabilir (h≈r).
ve
, 1
, 2
Piramide benzeyen bu şekillerin taban alanları AA A 3 ,..., A n
2
kürenin yüzey alanı A = 4 .r olsun.
Bu şekillerin taban alanları toplamı yaklaşık olarak kürenin yüzey
alanı olur. O hâlde
+ + + ... + A n . A olur. Oluşan bu şekillerin her birinin hacmi
A 1 A 2 A 3
.
.
.
.
.
Ah Ar Ar Ar Ar
V 1 . 1 3 . 1 3 , V 2 . 2 3 , V 3 . 3 3 ,..., V n . n 3 olur.
Kürenin hacmi yaklaşık olarak bu şekillerin hacimlerinin toplamı olur. O hâlde
.
.
.
.
Ar Ar Ar Ar
n
2
3
1
V . 3 + 3 + 3 + ... + 3
r
. ^ A1 + A2 + A3 + ... + An . h 3
.
. Ar 4π rr 4π r 3
2
. 3 = 3 = 3 olur . Buradan
4πr 3
V = 3 elde edilir.
21. Örnek
Yarıçapı 3 birim olan bir kürenin hacmini bulunuz.
Çözüm
Kürenin hacmi V = 4 $π 3 3 3 = 4 $π 3 27 = 36π birimküp olur.

252