Page 218 - Matematik

12 Matematik

5.3.4. Maksimum ve Minimum Problemleri

Bilimde, mühendislikte ve iş hayatında bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinden
sıklıkla yararlanılır. Örneğin, fabrikalarda minimum harcamayla maksimum kazanç elde etmek
amaçlanır. Marketlerde satılan tüm konserve kutularının aynı fiziksel görüntüde ve yaklaşık
28,3 gram olduğu görülür. Bütün konserve kutularının belirli hacim ve aynı şekle sahip olmaları
tesadüf değildir. Belirli bir hacimle üretilen konserve kutularında minimum miktarda metal kul-
lanılarak firmaların minimum maliyetle maksimum kazanç elde etmesi sağlanabilir.
(Zill ve Warren, 2013)
Maksimum ve minimum problemlerinde en büyük ya da en küçük olması istenen değeri tek de-
ğişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade ettikten sonra bu fonksiyonun maksimum ya da minimum
değeri araştırılır.

ÖRNEK

Toplamı 16 olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

ÇÖZÜM
y
Toplamı 16 olan iki sayı sırasıyla x ve y ise x += 16 olur .
y
x += 16 & y = 16 - x olur .
x
xy$ ifadesinde yyerine 16 - yazılarak xy$ ifadesi tek değişken türünden x 16 - xg
$ ]
olarak ifade edilebilir.
Bu durumda xy$ çarpımı f x = x 16 - xg fonksiyonu ile ifade edilirse xy$ çarpımının en
] g
$ ]
büyük değerini alması için f x = x 16 - xg fonksiyonunun maksimum değeri bulunmalıdır.
] g
$ ]
f x = x 16 - g f x = 16 x - x 2
$ ]
x & ] g
] g
f x =
& l] g 16 - 2 x x - 3 3
f x = 0 & 16 - 2 x = 0
l] g
2
& x = 16
& x = 8 olur .

f x ]g fonksiyonunun türevinin işaret tablosu incelenirse fonksiyonun maksimum değerini
x = için aldığı görülür. Bu durumda fonksiyonun maksimum değeri f 8 ]g olup bu değer
8

f 8 = 16 8$ - 8 2
] g
= 64 olur .
O hâlde toplamı 16 olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değer 64 bulunur.

218