Page 221 - Matematik

Matematik 12

ÖRNEK

Bir fabrikada hacmi 96 birimküp olan üstü açık kare priz-
ma biçiminde kutular üretilecektir.

: Kutunun taban yüzeyinin birimkare maliyeti 3 TL
: Kutunun yan yüzeyinin birimkare maliyeti 1 TL

olduğuna göre bir kutunun maliyetinin en az kaç TL ola-
cağını bulunuz.

ÇÖZÜM
Kutunun taban ayrıtları x birim ve yüksekliği y birim
ise hacmi
xxy$$ = 96 birimk polupyü = 96 birim bulunur .
2
x
2
3
96 144444 4 244444 4 Kutunun taban alanı xx$ = x birimkare ve
384
96
x
x 2 244444 4 4 x Kutunun yan yüz alanı 4 $$ 2 = x birimkare olur.
3
144444 4 144444 x
244444 4
x 3
2
Buna göre taban yüzeyinin birimkare maliyeti 3 TL olduğundan kutunun taban maliyeti 3 $ x TL ve
384 384
yan yüzeyin birimkare maliyeti 1 TL olduğundan kutunun yan yüz maliyeti 1 $ x = x TL olur.

Bu durumda bir kutunun maliyeti x3 2 + 384 TL bulunur.
x
2
Bir kutunun maliyeti f x = 3 x + 384 fonksiyonu olarak ifade edilirse maliyetin minimum olma-
] g
x
sı için bu fonksiyonun minimum değeri bulunmalıdır.

2
f x = 3 x + 384 & f x = 6 x - 384 olur . x - 3 0 3
l ] g
] g
x
2
x
3
6
f x = 0 & x - 384 = 0 & 6 x - 2 384 = 0
l ] g
2
x x
2
3
6
& x - 384 = 0 vex ! 0
3
& x = 64 vex ! 0 ^ Paydada iftkat kkç ö h
& x = 4 vex ! 0 olur .
f x ]g fonksiyonunun türevinin işaret tablosu incelenirse fonksiyonun minimum değerini x =
4
için aldığı görülür. Bu durumda fonksiyonun minimum değeri f 4 ]g olup bu değer
2 384
f 4 = 34$ + 4 = 144 olur .
] g
O hâlde bir kutunun maliyeti en az 144 TL bulunur.
221