Page 219 - Matematik

Matematik 12

ÖRNEK
Duygu ve kardeşi Uğur, harçlıklarını harcamayıp biriktirerek Anneler Günü hediyesi almak isti-
yorlar. Duygu’nun günlük harçlığı x TL ve Uğur’un günlük harçlığı y TL dir. Duygu tüm harçlığını
3y gün ve Uğur ise tüm harçlığını 3x gün biriktiriyor. Duygu’nun 2 günlük harçlığı ile Uğur’un 3
günlük harçlığının toplamı 24 TL dir. Biriken toplam paranın en fazla olabilmesi için Duygu ve
Uğur’un günlük harçlıklarının kaç TL olması gerektiğini bulunuz.

ÇÖZÜM
Duygu’nun günlük harçlığı x TL olup 3y günde 3xy TL para biriktirir.
Uğur’un günlük harçlığı y TL olup 3x günde 3xy TL para biriktirir.
Bu durumda biriken toplam para olan 6xy TL nin maksimum olmasını sağlayan x ve y değer-
leri bulunmalıdır.
Duygu’nun 2 günlük harçlığı ile Uğur’un 3 günlük harçlığının toplamı 24 TL olduğundan
2 x + 3 y = 24 olur.
2 x + 3 y = 24 & y3 = 24 - 2 x & 6 xy = 2 ] 2 g 48 x - 4 x 2 elde edilir .
x 24 -
x =
2
Bu durumda 6xy ifadesi f x = 48 x - 4 x fonksiyonu ile ifade edilirse 6xy ifadesinin en bü-
] g
2
yük olması için f x = 48 x - 4 x fonksiyonunu maksimum yapan x değeri bulunmalıdır.
] g
f x = 48 x - 4 x 2 & l] g 48 - 8 x x = 6 & 2 6$ + 3 y = 24 x - 3 6 3
f x =
] g
f x = 0 & 48 - 8 x = 0 & x = 6 olur . & y = 4 bulunur .
l] g

Buna göre Duygu ve Uğur’un günlük harçlıklarının sırasıyla 6 TL ve 4 TL olması durumunda
biriken toplam para en fazla olacaktır.

ÖRNEK
2
,
4
: f R " R , f x = x - 3 x + fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir A abh noktasının koordi-
^
] g
natları toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
ÇÖZÜM
2
f ag
A^ , abh & b = ] = a - 3 a + 4 olur .
2
2
2
b = a - 3 a + 4 & a + b = a + a - 3 a + 4 = a - 2 a + 4 elde edilir .
2
,
4
Bu durumda A abh noktasının koordinatları toplamı g a = a - 2 a + fonksiyonu ile ifa-
]g
^
2
,
4
de edilirse A abh noktasının koordinatları toplamının en küçük olması için g a = a - 2 a +
]g
^
fonksiyonunun minimum değeri bulunmalıdır.
2 3 1 3
g a = a - 2 a + 4 & g a = 2 a - 2 -
] g
l] g
2
g a = 0 & a - 2 = 0
l] g
& a = 1 olur .
g a ]g fonksiyonunun türevinin işaret tablosu incelenirse fonksiyonun minimum değerini a = 1
2
4
için aldığı görülür. Bu durumda fonksiyonun minimum değeri g 1 = 1 - 2 1$ += 3 bulunur .
] g
219