Page 222 - Matematik

12 Matematik

ÖRNEK

Hediyelik kar küreleri üreten bir firma, içerisinde en büyük hacimli düzgün
kare piramit bulunan 10 cm çapında kar küreleri üretecektir. Bu firmanın
üreteceği kar kürelerinin içindeki piramidin yüksekliğinin kaç cm olacağını
bulunuz.

ÇÖZÜM
T T Küre içerisine yerleştirilen düz-
gün kare piramidin yüksekliği
6 TG@ , kürenin merkezinden
6
5 geçer. OT ve 6@ OB@ kürenin
yarıçapı olur.
O
O 5
D x
A B G
G C 25 - x 2
B

6 OT ve 6@ OB@ yarıçap olduğundan OT = OB = 5 cm olur.
2
x
OG = ise OGB üçgeninde Pisagor teoreminden BG = 25 - x olur.
x
Kare piramidin yüksekliği TG =+ 5 cm ve karenin köşegenleri
2
BD = AC = 225 - xcm olur. Bu durumda kare piramidin hacmi
2 2
1 AC $ BD 1 225 - x $ 2 25 - x
V = 3 $ 2 $ TG = 3 $ 2 $ ^ x + 5h
1 2 2 3 2 3
225 -
5 =
V = 3 $ _ x i $ ^ x + h 3 $ - x - 5x + 25x + 125i cmolur .
_
2
3
Buna göre piramidin hacmi fx = 2 $ - x - 5x + 25x + 125i fonksiyonu ile ifade edilirse
_
^ h
3
3
2
piramidin hacminin en büyük olması için fx = 2 $ - x - 5x + 25x + 125i fonksiyonunun
_
^ h
3
maksimum değeri bulunmalıdır.
2 3 2 2 2
fx = 3 $ - x - 5x + 25x + 125i & f x = 3 $ - 3 x - 10 x + 25 olur .
i
_
_
^ h
l^ h
2
fx = 0 & - 3 x - 10 x + 25 = 0 x - 3 - 5 5 3 3
l^ h
& & - 3 x + 5 ^h x + h 0
5 =
^
5
& & x = veyax = - 5 olur .
3
Bu durumda firmanın üreteceği kar kürelerinin içerisindeki piramidin en büyük hacimli olması
x
için piramidin yüksekliği TG =+ 5 = 5 + 5 = 20 cm olmalıdır.
3
3
222