Page 16 - Fen Lisesi Matematik 10 | 1.Ünite

SAYMA VE OLASILIK

3. Tekrarlı Permütasyon

“FİZİK” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 5 harfli anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabileceği
incelenirse; birbirinin aynısı (özdeşi) olan nesnelerin veya elemanların da bulunduğu bir topluluk sıralanırken
öncelikle tüm nesneler farklıymış gibi sıralama yapılır.

“FİZİK” kelimesinde 5 harf bulunduğundan bunların farklı dizilişlerinin sayısı P5 5 = ! 5 = 120 tanedir.
, h
^
Ancak “FİZİK” kelimesinde 2 tane “İ” harfi bulunduğundan bu harfler kendi aralarında yer değiştirse bile oluşan
kelimeler daima aynı olur. Yani 120 cevabı, içinde farklı permütasyon ( !2 ) adet bulunmaktadır. Bu yüzden 120,
aranan cevabın ( !2 ) katıdır. Buna göre “FİZİK” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek 5
harfli, anlamlı veya anlamsız kelimelerin sayısı
! 5 = 120 = 60 olur.
! 2 2

Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n li permütasyonlarına tekrarlı
permütasyon denir.
Tanım
rr ! Z + ve n = 1 r + 2 r + ... + k r olmak üzere n elemanlı bir kümenin r1 tanesi birbi-
,,...,rk2
1
riyle özdeş, r2 tanesi birbiriyle özdeş, ..., rk tanesi birbiriyle özdeş ise n elemanlı kümenin
elemanlarının n li permütasyonlarının (dizilişlerinin) sayısı
! n
Pn ; rr h = r1 $ ! ... rk ! ile hesaplanır.
^
, ,...,rk2
1
$
! r2 $

1. ÖRNEK

11 222 344 sayısının rakamlarının yer değiştirmesi ile 8 basamaklı kaç sayı yazılabileceğini bulunuz.

ÇÖZÜM
11 222 344 sayısında
1 " 2 tane
2 " 3 tane
4 " 2 tane
3 " 1 tane bulunmaktadır. Bu durumda 11 222 344 sayısının rakamlarının yer değiştirmesi ile yazılabilecek 8
basamaklı sayılar 2
$$
P8 23 h ! 8 = 8765 $ ! = 14 $ ^ ! 5 h
;, ,, 21 =
^
! 2 321$ ! $ ! $ ! 262 $
$
= 14 120$
= 1680 tan edir .

2. ÖRNEK

x
, nx ! N olmak üzere Pn ;,x3 = 56 olduğuna göre n + toplamını bulunuz.
^
h
ÇÖZÜM
n
3
x += olduğundan ! n = ^ x + 3h ! = ^ x + 3 $^h x + 2 $^h x + 1h ! x $ = 78$
! x 3$ ! ! x 3$ ! ! x 3$ !
1 =
^ x + 3 $^h x + 2 $^h x + h 78$$^ ! 3 h elde edilir. Buradan
5
x += ise x = ve x += olduğundan n =+ = bulunur.
8
3
n
3
8
3
5
x
8
5
O hâlde n + =+= 13 olur.
Fen Lisesi Matematik 10 27