Page 41 - Fen Lisesi Matematik 11 | 1.Ünite

TRİGONOMETRİ

4. Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Dünya, Güneş etrafındaki dönüşünü 365 gün 5 saat 49 dakika 12 sani-
yede tamamlar. Dünya’nın Güneş etrafındaki dönüşünü tamamlamak
için geçen süre bir yıldır. Bir yıl, Dünya’nın Güneş etrafındaki dönü-
şünün periyodu olarak ifade edilebilir. Mevsimler, bu periyoda örnek
olarak gösterilebilir (Görsel 1.2.1).
Ay’ın Dünya etrafındaki tur süresi 24 saattir. Ay’ın tur süresi periyot
olarak ifade edilir.
Bir fonksiyona ait grafik, eşit aralıklarda tekrarlanıyorsa periyodik
fonksiyon, grafiği de periyodik grafik olur. Görsel 1.2.1

Periyodik Fonksiyonlar

Tanım f :A " bir fonksiyon olsun. x6 ! A için f ] x + g f xg eşitliğini sağlayan en
B
T = ]
az bir T ! gerçek sayısı varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek
0
sayısına da f fonksiyonunun bir periyodu denir. Bu eşitliği sağlayan T sayılarından
pozitif olanların en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir. Bu
fonksiyonun periyodu ifadesinden o fonksiyonun esas periyodu anlaşılacaktır.

k d Z olmak üzere x ! R " - , 1 1@ için sin x + k 2$ r = sinx ve cos x + k 2$ r = cosx
]
g
g
]
6
olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonları periyodik fonksiyonlardır. Bu durumda T = k 2$ r olur. T
1
sayılarından pozitif olanların en küçüğü k = için 2r olduğundan periyot T = 2r olur.
r
.
R - $ 2 + kkr , ! Z " R için tan x + kr = tan , x
g
]
]
g
,
R - " kkr , ! Z " R için cot x + kr = cotx
olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonları periyodik fonksiyonlardır. Bu durumda T = k $ r olur.
1
T sayılarından pozitif olanların en küçüğü k = için r olduğundan periyot T = olur.
r
f (x)=p sin(ax+b)+c veya g (x)=p cos(ax+b)+c Fonksiyonlarının Periyotları
0
b + fonksiyonlarının periyodik
a ! için :f R " R , f x = p $ sin ax + g c ] g p $ cos ax + g c
b + ve g x =
]
] g
]
olup olmadığı incelenir, periyodik ise periyodu aşağıdaki gibi bulunur.
f x + g f xg olacak şekilde T sayısı bulunmalıdır.
T = ]
]
c
b + olduğundan
T =
^
]
]
T + h
$ ]
f x + g p $ sin a x + g b += p $ sin ax + aT + g c
b +
p $ sin ax + aT + g c = p $ sin ax + g c
b +
]
]
sin ax + aT + g sin ax + bg
b =
]
]
ax + aT + b = ax + b + 2r
aT = 2r
2r
T = a bulunur.
b + periyodik fonksiyondur ve periyot T =
O hâlde f x = p $ sin ax + g c 2r olur.
] g
]
a
b + periyodik fonksiyondur ve periyodu T =
Benzer şekilde g x = p $ cos ax + g c 2r olur.
] g
]
a
Sonuç
0
b + şeklindeki
x =
]
]
a ! için f ] g p $ sin ax + g c x = p $ cos ax + g c
b + ve g ] g
2r
fonksiyonların periyodu T = olur.
a
Fen Lisesi Matematik 11 51