Page 53 - Matematik 10 | 2.Ünite

13

A ! Q olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor.
I. fog fonksiyonu bire bir ise g fonksiyonu bire birdir.
II. gof fonksiyonu örten ise g fonksiyonu örtendir.
ifadelerinin doğru olup olmadıklarını bulunuz.

I. x, x2 ! A olsun.
1
x 1 ! x 2 & (fog )()x 1 ! (fog )() (x 2 fog bire birolduundan€ )
& fg ! f (( ))gx 2 ((fog )( )x = f ( ())gx oldu undan€ )
(( ))x 1
() !
& gx 1 gx 2
()
Bu durumda fog fonksiyonu bire bir iken g fonksiyonu da bire birdir.
y
)()
II. gof örten ise y6 ! A için x7 ! A öyle ki (gofx = olur. Bu durumda gof un değer kümesi A
daki her y için gof un tanım kümesi A da, gof altındaki görüntüsü y olan en az bir tane x bulabiliriz.
z
fl
)()
(gofx = y & g (( ))fx = y & g ()z = y (z = f ( )xolacakekilde 7 ! A )
f, A da tanımlı olduğundan ()fx = , A nın elemanıdır. Şimdi, g nin değer kümesindeki herhangi bir y
z
için g nin tanım kümesi olan A da bir z vardır ki ()gz = sağlanır. Buradan g örtendir.
y
14
: f Z + " R olmak üzere f fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanı bu elemanın asal bölenleri sayısı-
na götüren bir fonksiyon olarak tanımlanıyor. Buna göre
a) (fof )(420 değerini bulunuz.
)
b) (fof )()x = olduğuna göre x in en küçük değerini bulunuz.
2

2
357$ olur. Buradan 420 nin asal bölen sayısı 4 olduğundan (f420 =
a) 420 = 2 $$ ) 4 olur. Bu durum-
da (fof )(420 = ff )) = f ()4 = 1 olur. Çünkü 4 sayısını bölen asal sayı sadece 2 sayısı oldu-
((420
)
ğundan 1 tanedir.
b) (fof )()x = 2 ise (( ))ffx = 2 olur. Bu durumda 2 tane asal böleni olan en küçük pozitif tam sayı 6
6
6
olduğundan ()fx = seçilir. Buradan ()fx = ise x en az 23571113$ $$$ $ = 30030 olur.
15

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için
• (fog )()x = f ()x + g ()x
5
()
• fx = 2 x -
olduğuna göre ()g3 değerini bulunuz.

(fog )()x = f ()x + g ()x
(( ))x
fg = f ()x + g ()x
5
2 $ gx 5 = 2 x -+ g ()x
() -
gx 2 x
() =
g () 3 = 2 3$
g ()3 = 6 olur .

131