Page 11 - Matematik 11 | 2.Ünite

Analitik Geome tri

2.1.2. Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

1. A(x 1 , y 1 ) ve B(x 2 , y 2 ) noktaları verilsin. C ∈ [AB] ve AC = k ise "C noktası [AB] nı k oranında
CB
içten böler." denir.
B(x 2 , y 2 )

a
y 2 - y
x 2 - x ⟔
C(x, y) E
k.a
y - y 1
A(x 1 , y 1 )
⟔ D
x - x 1
Yukarıdaki şekilde CAD ile BCE dik üçgenleri benzerdir (A.A. benzerliği).
AC x - x 1 y - y 1
BC = k olduğundan x 2 - x = k ve y 2 - y = k olur.
C(x, y) noktalarının koordinatları yukarıdaki eşitlikler kullanılarak bulunur.

16. Örnek
AC 2
A(-1, 5) ve B(4, 10) noktaları için AB doğru parçasını BC = 3 oranında içten bölen
C noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm
1. Yol
B(4, 10) A ve B noktalarını AC = 2 oranında içten bölen nokta
BC
3
C (x, y) ve |AC| = 2k olsun. Bu durumda |BC| = 3k olur.
3k
Buna göre
( 1
AB 5 4 -- ) 5
C(x, y) 10 - 5 = ⇒ = ⇒ 10 = 5x + 5 ⇒ x = 1 ve
( 1
AC 2 x -- ) 2
2k y - 5
AB 5 10 - 5 5
A(-1, 5) ⟔ D ⟔ E AC = 2 ⇒ y - 5 = 2 ⇒ 10 = 5y - 25 ⇒ y = 7 olur.
x - (-1)
4 - (-1)
O hâlde C noktasının koordinatları (1, 7) olarak bulunur.
2. Yol
Verilen noktalar bir doğru üzerinde gösterilerek x ve y değerleri arasında değişim
(artış veya azalış) miktarları aşağıdaki gibi bulunur.
A(-1, 5) C(x, y) B(4, 10)
2k 3k
5k

y değeri A dan B ye x değeri A dan B ye
5k mesafede 5 arttığından 5k mesafede 5 arttığından
A dan C ye A dan C ye
2k mesafede 2 artar 2k mesafede 2 artar
y = 5 + 2 = 7 olur. x = -1 + 2 = 1 olur.
O hâlde C noktasının koordinatları (1, 7) olarak bulunur.

87