Page 20 - Fen Lisesi Matematik 10 | 6.Ünite

UZAY GEOMETRİ

Düzgün Piramitte Alan ve Hacim Bağıntıları
Bir düzgün piramidin yüzey alanı, ikizkenar üçgensel bölgeden oluşan
yanal yüzlerin alanı ile düzgün çokgensel bölge olan taban alanı topla-
mına eşittir.
Yüzey alanı : A
Taban alanı : AT
Yanal alanı : AY
Yanal yüz yüksekliği : hY
Cisim yüksekliği : h
olmak üzere A = AT + AY olur. Şekil 6.1.24: Kare dik piramit
Şekil 6.1.24 ve 6.1.25 ile verilen kare dik piramidin yüzey alanı
& & & &
A TADh
h
A TDC + ^h
A Y = ^ A TCB + ^h A TBA + ^
a
a
$
$
$
$
a h Y
= ah Y + ah Y + ah Y + ah Y = ] a ++ + g $
2
2
2
2
2
Ç] ABCD YanalY zY kseklikü ü
$ g
= 2
A ABCDg olduğundan
A T = ]
A = A Y + A T
ü
ü
$ g
Ç] ABCD YanalY zY kseklik
A ABCD olarak
= 2 + ] g bulunur .
Genelleme yapılırsa bir ABCD... düzgün dik piramidin alanı
A = A Y + A T Şekil 6.1.25: Kare dik piramidin açınımı
... YanalY zY kseklik
Ç] ABCD g $ ü ü
= 2 + ] ... olur .
A ABCD g
Düzgün piramidin hacmi, taban alanı ile cisim yüksekliği çarpımının üçte biridir.
Ah$
V = T 3 olur .
2. ÖRNEK
Bir düzgün altıgen piramidin taban ayrıt uzunluğu a = 4 cm ve yüksekliği h = 13 cm olduğuna göre düzgün
2
piramidin yüzey alanının kaç cm olduğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
Düzgün altıgen piramidin taban çokgeni, düzgün altıgen olduğundan
a 2 3
A ABCDEF =
AT = ] g 6 $ 4 eşitliğinden
4 2 3
2
AT = 6 $ 4 = 24 3 cmolur .
Düzgün altıgen piramidin yan yüz yüksekliği TK? çizilirse
5
TOK dik üçgen olur.
a 3 43
OK = 2 eşitliğinden OK = 2 = 23 cm olur .
&
TOK dik üçgeninde Pisagor teoreminden
2
2
2
2
TK = TO + OK = ^ 13 + ^ 23h 2 = 13 + 12 = 25
h
Buradan TK = hY = 5 cmbulunur .
1 1
Ç ABCDEF hY =
AY = 2 $ ] $ g 2 $ ] 64 5 $ = 60 cm 2
$ g
olduğundan A = AT + AY = ^ 24 3 + 60h cm 2 bulunur .
342 Fen Lisesi Matematik 10