Page 21 - Fen Lisesi Matematik 12 | 5. Ünite

Sıkıştırma Teoremi

] g
] g
limf x = limg x = Lolsun.
x " a x " a
6 x d R içinf x # ]g h x # ]g g x ise lim f x # limh x # lim g x olur.
]
g
] g
] g
] g
x " a x " a x " a
Buradan lim h x = L elde edilir.
]g
x " a
ÖRNEK 20
x sinx
lim = 1velim = 1 olduğunu gösteriniz.
x " 0 sinx x " 0 x
ÇÖZÜM
P(1, tanx)
Yandaki POA üçgeninin alanı BOA
daire diliminin alanından büyüktür.
B(cosx, sinx)
BOA daire diliminin alanı da BOA
y üçgeninin alanından büyüktür.

x A(1, 0)
O x

P

B B
sinx

x x x
O A O A O
1 1 1 A
BOA üçgeninin BOA daire diliminin POA üçgeninin
# #
alanı alanı alanı
Buradan
1sinx$ # r 1 $ 2 x # 1tanx$
2 2r 2
sinx # x # tanx
sinx # x # 1 & 1 # x # 1 bulunur.
sinx sinx cosx sinx cosx
0
Her üç tarafın x " için limiti alınırsa
x 1 x
lim1 # lim # lim & 1 # lim # 1olur.
x " 0 x " 0 sinx x " 0 cosx x " 0 sinx
x
Bu durumda lim = 1 bulunur.
x " 0 sinx
x 1
Benzer şekilde 1 # # eşitsizliği
sinx cosx
sinx
1 $ $ cosx biçiminde yazılır.
x
x " için her üç tarafın limiti alınırsa
0
sinx sinx
lim1 $ lim $ limcosx & 1 $ lim $ 1bulunur.
x " 0 x " 0 x x " 0 x " 0 x
sinx
Buradan sıkıştırma teoreminden lim = 1 elde edilir.
x " 0 x
Türev
251