Page 39 - Fen Lisesi Matematik 12 | 5. Ünite

ÇÖZÜM

]g
2
f x = x - fonksiyonunun x = noktasındaki teğetinin eğimi mT
x
3
olsun.
I. Yol II. Yol
]
f 3g
] g
f x - ] f 3 + h - ]g f 3g
mT = l] g lim mT = l] g lim
f 3 =
f 3 =
x " 3 x - 3 h " 0 h
x -- 6 ] 3 + h - ]g 2 3 + g 6
2
h -
x
= lim = lim
x " 3 x - 3 h " 0 h
] x - g ] 2g 9 + 6h + h ---
3 x +
2
= lim = lim 3 h 6
x " 3 x - 3 h " 0 h
= lim x + g 5bulunur. h +
]
2 =
2
x " 3 = lim 5h
h " 0 h
5 =
]
= lim h + g 5bulunur.
h " 0
Sağdan ve Soldan Türev
TANIM
f: a, b " R ve x0 ! ^ a, bh olsun.
6
@
] g
f x - ] g
f x
lim x - 0 limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x0 noktasında-
x " x 0 - x 0
] g
f x - ] g
f x 0
ki soldan türevi denir ve lim - x - = l^ - h biçiminde gösterilir.
f x 0
x " x 0 x 0
] g
f x - ] g
f x 0
lim x - limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x0 noktasında-
x " x 0 + x 0
f x - ] g
] g
f x 0
ki sağdan türevi denir ve lim + x - x = l_ 0 +
f x i biçiminde gösterilir.
x " x 0 0
-
l^
f fonksiyonu için f x h = l_ + = , ise f fonksiyonunun x = x 0 nokta-
f x i
0 0
l] g
,
sında türevi vardır ve f x0 = olur.
l^ - h ! l_ +
f x i ise f fonksiyonunun x =
f fonksiyonu için f x 0 0 x 0 noktasın-
da türevi yoktur denir.
ÖRNEK 3
4x - 1, x # 1 ise
,f x = )
f:R " R ]g
x + 2,x 2 1 ise
fonksiyonu için x = 1 noktasındaki türevinin olup olmadığını araştırınız.
ÇÖZÜM
x = 1 noktasındaki türevinin olması için fonksiyonun bu noktadaki
sağdan türevi soldan türevine eşit olmalıdır.
]
2
+
l^
f 1 h = lim f x - ]g f 1g = lim x +- 3 = 1olur.
x -
x -
x " 1 + 1 x " 1 + 1
f x - ]g f 1g 4x -- 3
]
1
-
fl^ 1 h = lim = lim = 4 olur.
x " 1 - x - 1 x " 1 - x - 1
+
l^
Buradan f 1 h ! l^ - 1 noktasında
f 1 h olduğundan fonksiyonun x =
türevi yoktur.
Türev
269